в) Пересмотр логических и эвристических опровержений
Пи. Позвольте снова обратиться к некоторым выводам, получившимся в связи с дедуктивным угадыванием. Прежде всего возьмем проблему выбора между эвристическими и логическими контрапримерами, вставшую в дискуссии между Альфой и Тетой.
Мое изложение, я думаю, показало, что даже так называемые логические контрапримеры были эвристическими. В первоначальном понимании толкования нет несовместности между
а) все многогранники будут эйлеровыми и
б) картинная рама неэйлерова.
Если мы будем придерживаться молчаливых семантических правил нашего первоначального языка, то наши контрапримеры не будут контрапримерами. Они превратились в логические контрапримеры только от изменения правил языка при расширении понятий.
Гамма. Вы подразумеваете, что все интересные опровержения будут эвристическими?
Пи. Совершенно верно. Вы не можете поместить отдельно, с одной стороны, опровержения и доказательства, а с другой изменения в концептуальной, таксономической и лингвистической системе. Обычно при появлении «контрапримера» вы можете выбирать: или вы отказываетесь заниматься им, так как на вашем данном языке L1 он совсем не контрапример, или вы согласитесь изменить ваш язык при помощи расширения понятия и принять этот контрапример на вашем новом языке L2.
Дзета …и объяснить его на L3!
Пи. В соответствии с традиционной, не меняющейся рациональностью вы должны сделать первый выбор. Наука учит нас выбирать второй.
Гамма. Иначе мы можем иметь два утверждения, которые совместны на L1, но мы переключаемся на L2, где они несовместны. Или мы можем иметь два утверждения, несовместные на L1, но мы переключаемся на L2, где они совместны. По мере роста знания меняются языки. «Каждый творческий период является одновременно периодом изменения языка»[159]. Рост знания нельзя промоделировать на любом заданном языке.
Пи. Это верно. Лингвистика занимается динамикой языка, а логика только его статикой.
г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
Гамма. Вы обещали вернуться к вопросу, может или нет дедуктивное угадывание дать непрерывное изображение роста знания.
Пи. Позвольте мне сначала очертить некоторые из многочисленных исторических форм, которые может принять эта эвристическая картина.
Первое основное изображение получается, когда наивное расширение понятий намного обгоняет теорию и производит большой хаос контрапримеров: наши наивные понятия ослабляются, но теоретические понятия не заменяют их. В этом случае дедуктивное угадывание может — постепенно — справиться с залежами контрапримеров. Это будет, если хотите, непрерывное «обобщающее» изображение. Но не забывайте, что оно начинает с опровержений, что его непрерывность представляет постепенное объяснение растущей теории эвристических опровержений ее первой версии.
Гамма. Или «непрерывный» рост только указывает, что опровержения далеко впереди!
Пи. Это верно. Но может случиться, что каждое отдельное опровержение, или распространение наивных понятий, непосредственно влечет за собой распространение теории (и теоретических понятий), которые объясняют контрапример; тогда «непрерывность» уступает место возбуждающему чередованию опровержений, расширяющих понятия, и еще более мощных теорий, наивных расширений понятий и объяснительных теоретических расширений понятий.
Сигма. Две случайные исторические вариации на ту же самую эвристическую тему!
Пи. Ну, в действительности между ними не так уже много различия. В них обоих сила теории лежит в способности объяснить опровержения в процессе роста. Но есть еще второе основное изображение дедуктивного угадывания.
Сигма. Еще другая случайная вариация?
Пи. Да, если хотите. Однако в этой вариации растущая теория не только объясняет, но и производит ее опровержения.
Сигма. Что?
Пи. В этом случае теоретический рост обгоняет — и, конечно, исключает — наивное расширение понятий. Например, кто-нибудь начинает, скажем, с теоремы Коши без единого контрапримера на горизонте. Затем испытывают эту теорему, преобразуя многогранник всеми возможными способами: разрезая пополам, отрезая пирамидальные углы, сгибая, растягивая, раздувая… Некоторые из этих идей-испытаний приведут к идеям-доказательствам[160] (если мы получим результат, о котором уже было известно, что он верен, и затем: повернем назад, т. е. будем следовать папповой картине анализа-синтеза), но некоторые — вроде «испытания двойным склеиванием» Дзеты — приведут нас не назад к чему-либо уже известному, но к действительной новости, к какому-нибудь эвристическому опровержению испытываемого предложения — не при помощи расширения наивного понятия, а путем расширения теоретической системы. Такое опровержение само себя объясняет…
Йота. Как в диалектике! Испытания превращаются в доказательства, контрапримеры становятся примерами по самому методу их построения…
Пи. Почему диалектика? Испытания одного предложения превращаются в доказательство другого более глубокого предложения, контрапримеры первого в примеры второго. Зачем смещение называть диалектикой? Но позвольте вернуться к моей точке зрения: я не думаю, что мою вторую основную картину дедуктивного угадывания можно рассматривать — как хотел бы Альфа — как непрерывный рост знания.
Альфа. Конечно, так можно. Сравните наш метод с идеей Омеги о замене одной идеи доказательства другой, радикально отличной, более глубокой. Оба метода увеличивают содержание, но в то время как в методе Омеги операции доказательства, применимые в узкой области, заменяются операциями, применимыми в более широкой области, или более радикально, все доказательство заменяется другим, применимым в более широкой области, — дедуктивное угадывание расширяет данное доказательство добавлением операций, расширяющих его приложимость. Разве это не непрерывность?
Сигма. Это верно! Из данной теоремы мы выводим цепь еще более широких теорем! Из частного случая все более и более общие случаи! Обобщение путем дедукции[161]!
Пи. Но насытившись контрапримерами, вы когда-то признали, что любое увеличение содержания, любое более глубокое доказательство впереди себя имеет или порождает эвристические опровержения предшествующих более бедных теорем…
Альфа. Тета распространял понятие «контрапример», чтобы покрыть эвристические контрапримеры. Вы теперь распространяете его, чтобы покрыть эвристические контрапримеры, которые никогда реально не существуют. Вы считаете, что ваша «вторая картина» полна контрапримерами и основана на распространении понятия контрапримера на контрапримеры с нулевой продолжительностью жизни, открытие которых совпадает с их объяснением! Но почему всякая интеллектуальная активность, всякая борьба за увеличение содержания в объединенной теоретической системе должна быть «критической»? Ваша догматическая «критическая позиция» затемняет исход!
Учитель. Исход спора между вами и Пи безусловно темен, потому что ваш «непрерывный рост» и «критический рост» Пи вполне совместимы. Я более интересуюсь ограничениями, если такие имеются, дедуктивного угадывании или «непрерывного критицизма».
д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения
Пи. Я думаю, что рано или поздно «непрерывный» рост обязательно зайдет в тупик, достигнет точки насыщения теории.
Гамма. Но, конечно, я всегда могу расширить некоторое понятие!
Пи. Конечно. Наивное расширение понятий может продолжаться, но теоретическое расширение имеет пределы. Опровержения при помощи наивного расширения понятий — это только поводы, побуждающие идти вперед при помощи теоретического расширения понятий. Имеются два сорта опровержений. На первый сорт мы наталкиваемся вследствие совпадения, или счастья, или произвольного расширения какого-нибудь понятия. Они вроде чудес, их «аномальное» поведение необъяснимо, мы принимаем их как контрапримеры bona fide (добросовестно (лат).) только потому, что привыкли принимать расширяющий понятие критицизм. Я буду называть их наивными контрапримерами или причудами. Далее существуют теоретические контрапримеры: они или производятся первоначально от расширения доказательств, или в других случаях являются причудами, которые получаются от расширенных доказательств, объясняются ими и поэтому повышаются до статуса теоретических контрапримеров. На причуды надо смотреть с большим подозрением: они могут быть не подлинными контрапримерами, а примерами из совершенно другой теории, если не простыми ошибками.
Сигма. Но что мы должны делать, когда застрянем? Когда не сможем превратить наши наивные контрапримеры в теоретические, расширяя наше первоначальное доказательство?
Пи. Мы можем снова и снова пробовать, не содержит ли наша теория какой-нибудь скрытой способности роста. Иногда, однако, могут иметься хорошие причины бросить дело. Например, как правильно указал Тета, если наше дедуктивное угадывание начинает с вершины, то мы, конечно, не можем ожидать, что оно когда-нибудь может объяснить нам лишенный вершин цилиндр.
Альфа. Значит, все-таки цилиндр был не монстром, а причудой!
Тета. Но с причудами нужно быть осторожным! Они являются действительными опровержениями: их нельзя подогнать под образец непрерывных «обобщений» и они могут действительно заставить нас революционизировать нашу теоретическую систему[162]…
Омега. Хорошо! Для отдельной цели дедуктивного угадывания можно получить точку относительного насыщения — но тогда кто-нибудь найдет революционную, новую, более глубокую идею доказательства, которая имеет большую возможность объяснить. В итоге все-таки попадаешь на окончательное доказательство — без пределов, без точки насыщения, без причуд для его опровержения!
Пи. Что? Единая объединенная теория для объяснения всех явлений вселенной? Никогда! Рано или поздно мы всегда приблизимся к чему-то вроде абсолютной точки насыщения.
Гамма. Мне по настоящему безразлично, придем мы к этому или нет. Если контрапример может быть объяснен дешевым, тривиальным расширением доказательства, то я стал бы рассматривать его уже как «причуду». Повторяю: я действительно не вижу никакого особого смысла в таком обобщении «многогранника», чтобы оно включило многогранник с полостями: это не один многогранник, но класс многогранников. Я также хотел бы забыть о «многосвязных гранях» — почему бы не провести недостающие диагонали? Что касается обобщения, которое включит тетраэдры-близнецы, то я схватился бы за оружие: это годится лишь, чтобы изготовлять сложные претенциозные формулы для ничего.
Ро. Наконец-то вы снова открыли мой метод исправления монстров[163]! Он освобождает вас от узкого обобщения. Омега не должен был называть содержание «глубиной» — не всякое увеличение содержания будет увеличением глубины: подумайте о формулах (6) и (7)[164] .
Альфа. Значит, в моем ряду вы остановились на (5)?
Гамма. Да;(6) и (7) не рост, а вырождение! Вместо того чтобы идти к (6) и (7), я лучше нашел бы и объяснил какой-нибудь возбуждающий новый контрапример[165].
Альфа. По-видимому, вы все-таки правы. Но кто же решит, где остановиться? Глубина — дело только вкуса.
Гамма. А почему бы не иметь математических критиков наподобие литературных для развития математического вкуса общественной критикой? Мы даже могли бы задержать волну претенциозных тривиальностей в математической литературе[166].
Сигма. Если мы остановимся на (5) и превратим теорию многогранников в теорию триангулированных сфер с ручками, то как вы сможете в случае надобности справиться с тривиальными аномалиями, вроде объясненных в (6) и (7)?
Мю. Детская игра!
Тета. Правильно. Тогда мы остановимся на минуту на (5). Но можем ли мы остановиться? Расширение понятий может опровергнуть (5)! Мы можем игнорировать расширение понятия, если оно дает контрапример, обнаруживающий бедность содержания нашей теоремы. Но если расширение дает контрапример, который ясно показывает ее ложность, то как тогда? Мы можем отказаться от применения наших увеличивающих содержание Правила 4 или Правила 5 для объяснения причуды, но нам придется применить наше сохраняющее содержание Правило 2 для устранения опровержения при помощи причуды.
Гамма. Вот это так! Мы можем отбросить «дешевые» обобщения, но вряд ли можем отбрасывать «дешевые» опровержения.
Сигма. Почему бы не построить устраняющее монстры определение «многогранника», добавив новое условие для каждой причуды?
Тета. В обоих случаях снова вернется наш старый кошмар, порочная бесконечность.
Альфа. Пока вы увеличиваете содержание, вы развиваете идеи, делаете математику; после этого вы выясняете понятия, вы делаете лингвистику. Почему не остановиться совсем, когда перестаешь увеличивать содержание? Зачем попадаться в ловушку порочных бесконечностей?
Мю. Не надо опять сталкивать математику с лингвистикой! Наука никогда не выигрывает от таких диспутов.
Гамма. Слово «никогда» скоро обратится в «скоро». Я целиком за возобновление нашей старой дискуссии.
Мю. Но мы уже кончили тупиком. Или кто-нибудь может сказать нам что-нибудь новое?
Каппа. Я думаю, что могу.
9. Как критика может математическую истину превратить в логическую
а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
Каппа. Альфа уже сказал, что наш «старый» метод приводит к порочной бесконечности[167] . Гамма и Ламбда ответили надеждой, что поток опровержений может иссякнуть[168]; но теперь, когда мы понимаем механизм успеха опровержений — расширение понятий,— мы знаем, что их надежда была тщетной. Для всякого предложения всегда найдется некоторое достаточно узкое толкование его терминов, которое окажется истинным, и некоторое достаточно широкое, которое окажется ложным. Какое толкование предполагается, и какое нет, зависит, конечно, от наших намерений. Первое толкование можно было бы назвать догматическим, подтвердительным ил и оправдательным толкованием, а второе скептическим, критическим или опровергательным. Альфа назвал первое конвенционалистской стратагемой[169], но теперь мы видим, что второе будет таким же. Вы все осмеяли догматическое толкование Дельтой наивной догадки[170], а затем догматическое толкование Альфой теоремы[171] . Но расширение понятий опровергает всякое утверждение и вообще не оставит истинного утверждения.
Гамма. Постойте. Правда, мы расширили понятие «многогранник», затем разорвали его и отбросили; как указал Пи, наивное понятие «многогранник» уже не фигурирует больше в теореме.
Каппа. Но тогда вы начнете расширять термин в теореме — теоретический термин, не правда ли? Вы сами решили расширить «односвязную грань» так, чтобы включить круг в боковую поверхность цилиндра[172]. Вы подразумевали, что интеллектуальная честность требует подставить шею, добиться почетного статуса опровергаемости, т. е. сделать возможным толкование опровергателя. Но при наличии расширения понятий опровергаемость означает опровержение. Таким образом, вы скользите по бесконечному склону, опровергая каждую теорему и заменяя ее более «строгой» — такой, ложность которой еще не выявлена. Но вы никогда не выйдете из ложности.
Сигма. А что, если мы остановимся на некотором пункте, примем оправдательные толкования и не будем трогаться дальше от истины или от той частной лингвистической формы, в которой была выражена истина?
Каппа. Тогда вам придется отражать контрапримеры, расширяющие понятия, вместе с устраняющими монстры определениями. Таким образом, вы будете скользить по другому бесконечному склону: вы будете принуждены принимать каждую «особую лингвистическую форму» вашей истинной теоремы, которая не будет достаточно точной, и вы будете принуждены включать в нее все более и более «строгие» определения, выраженные в терминах, неясность которых еще не разоблачена. Но вы никогда не выйдете из неясности.
Тета (в сторону). Что же плохо в эвристике, где неясность является ценой, которую мы платим за рост?
Альфа. Я сказал вам: точные понятия и непоколебимые истины живут только в мысли, но не в языке!
Гамма. Позвольте мне сделать вам вызов, Каппа. Возьмите теорему, как она стояла после того как мы учли цилиндр: «Для всех простых объектов с односвязными гранями, у которых ребра оканчиваются в вершинах, V—Е+F = 2». Как вы опровергнете это методом расширения понятий?
Каппа. Прежде всего я вернусь к определяющим терминам и произнесу предложение полностью. Затем я решу, какие понятия надо расширить. Например, «простой» стоит вместо «могущий быть растянутым в плоскости после отнятия одной грани». Я растяну термин «растягивание». Возьмите уже обсужденные тетраэдры-близнецы, имеющие общее ребро (рис. 6,а). Этот многогранник будет простым, его грани—односвязными, но V—Е+F = 3. Итак, наша теорема неверна.
Гамма. Но эти близнецы-тетраэдры не будут простым многогранником!
Каппа. Конечно, будут простым. Отнимая любую грань, я могу растянуть его на плоскости. Мне придется только быть осторожным, когда я подойду к критическому ребру, чтобы ничего не разорвать, открывая по этому ребру второй тетраэдр.
Гамма. Но это же не растягивание! Вы режете — или расщепляете — ребро на два ребра. Вы, конечно, не можете поместить одну точку в двух точках: растягивание является дважды непрерывным однозначным отображением.
Каппа. Определение 9? Боюсь, что это узкое, догматическое толкование «растягивания» не удовлетворит моему здравому смыслу. Например, я вполне могу в воображении растянуть квадрат (рис. 24,а) в два вложенных друг в друга квадрата, если растяну его контурную линию (рис. 24,6). Назовете ли вы это растягивание разрезом или расщеплением только потому, что оно не представляет «дважды непрерывного однозначного отображения». Между прочим, я удивляюсь, почему вы не определили растягивание как преобразование, которое оставляет F, Е и F неизменными, и покончили бы с этим?
Гамма. Верно, вы опять выиграли. Я должен или согласиться с вашим опровергательным толкованием «растягивания» и расширить мое доказательство, или найти более глубокое, или включить лемму, или ввести определение, устраняющее монстры. Однако в каждом из этих случаев я всегда буду делать более и более ясными мои определяющие термины. Почему я не должен прийти к такой точке, для которой значение терминов будет настолько кристально ясным, что может быть только одно-единственное толкование, как в случае с 2 + 2=4? Здесь нет ничего эластичного в смысле этих терминов и ничего опровержимого в истине этого определения, которое вечно сияет в естественном свете разума.
Каппа. Мутный свет!
Гамма. Расширьте, если вы можете.
Каппа. Но это же детская игра! В некоторых случаях два и два составляют пять. Предположим, что просим прислать две вещи, из которых каждая весит два фунта; они были присланы в ящике, весящем один фунт; тогда в этой упаковке два фунта и два фунта составляют пять фунтов!
Гамма. Но вы получаете пять фунтов, складывая три груза, 2 и 2 и 1!
Каппа. Верно, наша операция «2 и 2 составляют 5» не представляет сложения в первоначальном смысле этого слова. Но простым расширением смысла сложения мы можем сделать этот результат истинным. Наивное сложение представляет очень частный случай упаковки, когда вес покрывающего материала равен нулю. Нам нужно включить эту лемму в догадку в качестве условия: наша исправленная догадка будет: «2+2 = 4 для «невесомого» сложения»[173]. Вся история алгебры представляет ряд таких расширений понятий и доказательств.
Гамма. Я думаю, что вы «растягиваете» слишком далеко. В следующий раз вы истолкуете «плюс» как «косой крест» и будете рассматривать это как опровержение! Или вы истолкуете «все» как «не» в положении: все многогранники суть многогранники»! Вы расширяете понятие расширения понятий! Мы должны отграничить опровержение при помощи рационального расширения от «опровержения» при помощи иррационального расширения. Мы не можем позволить вам расширить любой термин так, как вы этого хотите.
Мы должны закрепить понятие контрапримера в кристально ясных терминах!
Дельта. Даже Гамма обратился в устранителя монстров: теперь для опровержения расширением понятий он хочет получить определение, устраняющее монстры. Разумность в конце концов зависит от неэластических, точных понятий[174] .
Каппа. Но таких понятий не существует! Почему не принять, что наша способность уточнять смысл наших выражений ничтожна и поэтому наша способность доказывать тоже ничтожна? Если вы хотите, чтобы математика имела смысл, то вы должны отказаться от достоверности. Если вы хотите достоверности, избавьтесь от смысла. Вы не можете иметь и то и другое. Тарабарщина безопасна от опровержений, имеющие смысл предложения могут быть опровергнуты расширением понятий.
Гамма. Тогда ваши последние утверждения тоже могут быть опровергнуты — и вы знаете это. «Скептики — это не секта людей, убежденных в том, что они говорят, это – секта лжецов»[175].
Каппа. Ругательства — последнее прибежище разума!
