Frege C. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, I. Jena.
Gamow С. (1953). One, two, three… infinity. N. Y.
Goldschmidt R. (1933). Some aspects of evolution.— Science, 78, 539-547.
Grunert J. A. (1827). Einfacher Beweis der von Gauchy und Eu-ler gefundeaen Satze von Figurennetzen und Polyedern.— J. die reine und angew. Math., 2, стр. 367.
Hardy G. H. (1928). Mathematical proof.—Mind. N. S., 38, 1—25,
Haussner R. (ed.) (1906). Abhandlungen iiber die regelmassigen Sternkorper.— Ostwald's Klassiker der Wissenschaften, N 151.
Heath Th. L. (1925). The thirteen books of
Hempel С. G. (1945). Studies in the logic of confirmation, I—II.— Mind, N. S., 54, 1-26, 97-121.
Hermite C. (1893). Lettre a Stieltjes, 20 mai 1893, Correspondence d'Hermite et de Stieltjes, Publiee par les soins de B. Baillaud et H. Bourget, I—II.
Hessel F. Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler'schen Lehrsatze von Polyedern.— J. die reine und angew. Math. 8, 13—20.
Hetting A. (1939). Les fondements des mathematiques du point de vue intuitioniste. Appendix to F. Gonseth: Philosophic mat-hematique.
Hey ting A. (1956). Intuitionism. An introduction.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. (1956). Geometry and imagination. N. Y. Оригинальное немецкое издание: Anschauliche Geo-metrie.
Hobbes T. (1651). Leviathan, or the matter, form and power of a Commonwealth, Ecclesiastical and Civil.
Hobbes T. (1656). The questions concerning liberty, necessity and chance, clearly stated and debated between Dr. Bramhall, Bishop of Derry, and Thomas Hobbes of Malmesbury.
Holder O. (1924). Die mathematische Methode.
Hoppe R. (1879). Erganzung des Eulerschen Satzes von den Polyedern.—Arch. Math, und Physik, 63, 100—103.
Husserl E. (1900). Logische Untersuchungen, I.
Jonquieres E. de (1890a). Note sur un point fondamental de la theorie des polyedres.— Comptes rendus des seances de L'Acade-mie des Sciences, 170, 110—115.
Jonquieres E. (1890b). Note sur le theoreme d'Euler dans la theorie des polyedres.— Comptes rendus des seances de ГАса-demie des Sciences, 110, 169—173.
Jordan C. (1866). Recherches sur les polyedres.—J. die reine und angew. Math., 57, 22—85.
Jordan C. (1866a). Resume de recherches sur la symetrie des polyedres non Euleriens.— J. die reine und angew. Math., 57, 86-91.
Landau E. (1930). Grundlagea der Analysis.
Lebesgue H. (1923). Notice sur la vie et les travaux de Camille Jordan. Перепечатано в H. Lebesgue: Notices d'Histoire des Mathematiques. Geneve, 1958, 40—65.
Lebesgue H. (1928). Lemons sur 1'integration.
Legendre (1794). Elements de geometric.
Lhuilier S. A. J. (1812—1813). Memoire sur polyedrometrie: con-tenant une demonstration directe du Theoreme d'Euler sur les polyedres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce theoreme est assujetti.— (Extrait) par M. Gergonne.— Annal. math, pures et appl., 3, 169—191. Lhuilier S. A. J. (1812—1813a). Memoire sur les solides reguliers.— Ann. math, pures et appl., 3, 233—237.
Listing J. B. (1861). Der Census raumlicher Complexe.—Abhandl. Koniglichen Gesellschaft Wiss. Gatingen, 10, 97—182. (Прочитано в декабре
Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschrankungen des Euler'schen Satzes von den Polyedern.— Z. Math, und Physik, 8, 449—450.
Meister A. L. F. (1769—1770). Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus,
Moebius A. F. (1827). Der baryzentrische Calcul.
Moebius A. F. (1865). Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders.— Ber. Konigl. Sachs. Ges. d. Wiss., Math.-phys. Klasse, 17, 31—68.
Munroe M. E. (1953). Introduction to Measure and Integration.Cambridge, Mass.
Neumann J., von (1947). The mathematician. В Heywood (ed.); The works of the mind.
Olivier L. (1826). Bemerkungen iiber Figuren, die aus beliebigen von geraden Linien umschlossenen Figuren zusammengesetzt sind.— J. die reine und angew. Math., I, 1826, 227—231.
Pascal B. (1657—1658). Les Reflexions sur
Peanо C. (1894). Notations de logique mathematique.
Poincare H. (1893). Sur la generalisation d'un theoreme d'Euler relatif aux polyedres.— Comptes rendus des seances de 1'Acade-mie des Sciences, 117, 144.
Poincare H. (1899). Complement а l’Analysis Situs. Rendiconti
Poincare H. (1902).
Poincare H. (1905).
Роinсare H. (1908). Science et Methode.
Poinsot L. (1809). Memoire sur les polygones et les polyedres.— «J. de 1'Ecole Polytechnique», 1810, 4, 16—48. (Прочитано в июле
Poinsot L. (1858). Note sur la theorie des polyedres.—Comptes rendus de 1'Academie des Sciences, 46, 65—79.
Po1уa G. (1945). How to solve it.
Polуa G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, I—II.
Polуa G. (1962a). Mathematical discovery, I. N. Y.
Polya G. (1962b). The teaching of mathematics and the biogene-tic law. «The scientist speculates» (ed. L. J. Good).
Polya G., Szego G. (1925). Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis.
Popper K. R. (1934). Logik der Forschung.
Popper K. R. (1945). The open society and its enemies.
Popper K. R. (1947—1948). Logic without assumptions.—Aristotelian Soc. Proc. 47, 251—292.
Popper K. R. (1952). The nature of philosophical problems and their roots in science.— Brit. J. Philos. Sci., 3, 124—156. Перепечатано в 1963а.
Popper K. R. (1957). The poverty of Historicism.
Popper K. R. (1963a). Conjectures and refutations.
Popper K. R. (1963b). Science: problems, aims, responsibilites.— Federation Am. Soc. Exp. Biol. Federation Proc., 22, 961—972.
Quine W. V. O. (1951). Mathematical logic, пересмотренное издание.
Raschig L. (1891). Zum Eulerschen Theorem der Polyedrometrie. Festschrift des Gymnasium. Schneeberg.
Reichardt H. (1941). Losung der Aufgabe 274,—Jahresberichte Dtsch. Math. Vereinigung, 51, 23.
Riemann B. (1851). Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse, Inaugural dissertation.
Robinson R. (1936). Analysis in Greek Geometry.—Mind, 45, 464—73.
Robinson R. (1953). Plato's earlier dialectic.
Rudin W. (1953). Principles of mathematical analysis. N. Y.
Russel B. (1901). Recent work in the philosophy of mathematics.— Int. Monthly, 3.
Russel B. (1903). Principles of mathematics.
Russel B. (1918). Mysticism and logic.
Saks S. (1933). Theorie de Fintegrale.
Schlafli L. (1852). Theorie der vielfachen Kontinuitat. Посмертно опубликовано в «Neue Denkschrifton der allgemeinen Schwei-zerischen Gesellschaft fur die gesamten, Naturwissenschaften», 38.
Schroder E. (1892). Ueber dio Vielecke von gebrochener Seiton-zahl oder die Bedeutung der Stern-polygone in der Geometric.— Z. Math, und Physik., 7, 55—64.
Seidel Ph. L. (1847). Note iiber eine Eigenschaft der Reihen, weiche discontinuirliche Functionen darstellen. «Abhandl. Math.-Phys. Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie Wiss., 5, 381—394.
Sextus Empiricus (ок. 190). Против логиков.
Somruerville D. M. Y. (1929). An introduction to the geometry of n-dimensions.
Steiner J. (1826). Leichter Beweis eines stereometrischen Satzes von Euler.— J. die reine und angew. Math., 1, 364—367.
Steinhaus H. (1960). Mathematical snapshots. N. Y., Revised and enlarged edition.
Steeinitz E. (1914—1931). Polyeder and Raumeinteilungen. В W. Fr. Meyer, H. Mohrmann (eds.): Encyklopadie der mathema-tischen Wissenschaften.
Szabo A. (I960). Anfange des euklidischen Axiomensystems.—Arch. History. Exact Sci., 1, 1960, 37—106.
Тarski A. (1930a). Uber einige fundamental Begriffe der Meta-mathematik.— Comptes rendus des seances de
Tarski A. (1930b). Fundamental Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften,
Tarski A. (1935). On the concept of logical consequence. Опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics.
Tarski A. (1941). Introduction to Logic and to the methodology of deductive sciences. N. Y. Second ed., 1946. Это частично измененный и расширенный перевод «On mathematical logic and deductive method» (польский оригинал опубликован в 1936, немецкий перевод в 1937).
Turquette А. (1950). Godel and the synthetic a priori,—J.Philos. 47, 125—129.
Waerden B. L., van der (1941). Topologie und Uniformisierung der Riemannsches Flachen.— Bericnte der Math. Phys. Klasse der Sachsischen Akademie der Wissenschaften.
Whitehead A.N., Russell B. (1910—1913). Principia mathe-matica, vol. I, 1910, vol. II; 1912; vol.
Wilder R. I. (1944). The nature of mathematical proof.— Am. Math. Monthly, 51, 309—323.
Zacharias M. (1914—1931). Elementargeometrie. В W. Fr. Meyer, H. Mohrmann (eds.): Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften,
Примечания Г.Копылова, превратившего текст книги в файл
С тех пор, как вышла книга Лакатоса в переводе И.Веселовского, многое изменилось: фамилия Полья теперь переводится как Пойа, многие источники, указанные в списке литературы, переведены на русский язык (другие труды Лакатоса, Поппер, Тарский, Пуанкаре и пр.). Но я не стал ничего менять, кроме очевидных погрешностей перевода.
[1] См. Чёрч (Church) (1956), 1, стр. 76—77. Также у Пеано (1894), стр. 49 и у Уайтхеда — Рассела (1910—1913), 1, стр. 12. Это интегральная часть евклидовой программы, формулированной Паскалем (1657—1658); ср. Лакатос (1962), стр. 158.
[2] Ситуационная логика — принадлежащий, по-видимому, Попперу малораспространенный термин, обозначающий логику продуктивную, логику математического творчества.— Прим. пер.
[3] Б. Рассел (В. Russel, 1901). Эта работа была перепечатана как 5-я глава труда Рассела (1918) под заглавием «Математика и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его „сколь возможно романтическим"».
[4] Согласно Тюркетту (Turquette), положения Геделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи (Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них не замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики определенно являются догадками, которые с точки зрения догматиста вряд ли возможно разделить на догадки a priori и a posteriori.
[5] Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1962а); Bernays (1947), в особенности стр. 187.
[6] Это можно иллюстрировать работами Тарского (1930а) и (1930b). В первой статье Тарский пользуется термином «дедуктивные науки» явно как стенографическим выражением для «формализованных дедуктивных наук». Он говорит: «Формализованные дедуктивные дисциплины составляют поле исследований метаматематики примерно в том же смысле, как пространственные сущности составляют поле исследований для геометрии». Этой разумной формулировке придается занятный империалистический уклон во второй статье. «Дедуктивные дисциплины составляют предмет (subjectmatter) методологии дедуктивных наук примерно в таком же смысле, в каком пространственные сущности составляют предмет геометрии, а животные — зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представляются в форме, подходящей для объектов научного исследования. Неподходящими будут, например, такие, которые не опираются на определенный логический базис, не имеют точных правил вывода (inference) и в которых теоремы формулируются в обычных двусмысленных и неточных терминах разговорного языка — одним словом, те, которые не формализованы. Метаматематические исследования, таким образом, сводятся к рассмотрению лишь формализованных дедуктивных дисциплин». Нововведением является то, что в первой формулировке устанавливается, что предметом метаматематики являются формализованные дедуктивные дисциплины, в то время как вторая говорит, что предмет метаматематики сводится к формализованным дедуктивным дисциплинам только по той причине, что неформализованные дедуктивные дисциплины вообще не являются подходящим предметом научного исследования. Это предполагает, что предыстория формализованной дисциплины не может быть предметом научного исследования, в то время как, наоборот, предыстория зоологического вида вполне может быть предметом научной теории эволюции. Никто не будет сомневаться, что к некоторым проблемам, касающимся математической теории, можно подойти только после того, как они будут формализованы, совершенно так же, как некоторые проблемы относительно человеческих существ (например, касающиеся их анатомии) могут быть изучаемы только после их смерти. Но на этом основании не многие будут утверждать, что человеческие существа будут «пригодны для научного исследования», только когда они «представляются в мертвом виде», и что, следовательно, биологические исследования сводятся к изучению мертвых человеческих существ, хотя я не был бы изумлен, если бы какой-нибудь энтузиаст — ученик Везалия в славные дни ранней анатомии, когда появились новые мощные методы диссекции, отождествил биологию с анализом мертвых тел.
В предисловии к работе (1941) Тарский подчеркивает свое отрицание возможности какой-нибудь методологии, отличной от формальных систем: «Курс методологии эмпирических паук… должен главным образом состоять из оценок и критик скромных попыток и безуспешных усилий». Причина заключается в том, что, поскольку Тарский определяет научную теорию «как систему подобранных утверждений, расположенных в соответствии с некоторыми правилами» (там же), то эмпирические науки не являются науками.
[7] Одно из наиболее опасных заблуждений сторонников формалистской философии заключается в том, что (1) они стараются установить что-нибудь (вполне правильно) относительно формальных систем; (2) затем сказать, что это применимо и к «математике» — это будет опять правильно, если мы примем отождествление математики с формальными системами; (3) наконец, со скрытым изменением смысла, использовать термин «математика» в обычном смысле. Так, Куайн говорит (1951, стр. 87), что «это отражает характерную для математики ситуацию; математик наталкивается на свое доказательство при помощи неуправляемой интуиции и „счастья", а затем другие математики могут проверить его „доказательство"». Но проверка обычного доказательства часто представляет очень деликатное предприятие, и, чтобы напасть на «ошибку», требуется столько же интуиции и счастья, сколько и для того, чтобы натолкнуться на доказательство; открытие «ошибок» в неформальных доказательствах иногда может потребовать десятилетий, если не столетий.
[8] Пуанкаре и Полья предлагают «основной биологический закон» Геккеля относительно онтогенеза, повторяющего филогенез, применять также и к умственному развитию, в частности, к математическому умственному развитию [Пуанкаре (1908), стр. 135 и Полья (1962b)]. Цитируем Пуанкаре: «Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного повторяет всю историю его предков в течение геологического времени. По-видимому, то же происходит и в развитии ума… По этой причине история науки должна быть нашим первым руководителем».
[9] По поводу дискуссии относительно роли математики в догматико-скептическом споре см. мою работу (1962).
[10] Впервые замечено Эйлером (1750). Первоначальной его задачей было дать классификацию многогранников. На трудность этого было указано в заключении издателя: «В то время как в плоской геометрии многоугольники (figurae rectilineae) легко могут быть классифицированы по числу сторон, которое, конечно, всегда будет равно числу углов, в стереометрии классификация многогранников (corpora hedris planis inclusa) представляет собой значительно более трудную задачу, так как только одно число граней недостаточно для этой цели». Ключом к полученному Эйлером результату было как раз введение понятий вершины и ребра; он первый указал на то, что кроме числа граней число точек и линий на поверхности многогранника определяет его (топологический) характер. Интересно отметить, что, с одной стороны, он очень хотел подчеркнуть новизну его концептуальной основы и что ему пришлось изобрести термин «acies» (ребро) вместо старого «latus» (сторона), так как «latus» было понятием, относящимся к многоугольникам, тогда как ему нужно было ввести понятие, относящееся к многогранникам; с другой стороны, он все же удержал термин «angu1us sо1idus» (телесный угол) для подобных точке вершин. С недавнего времени стали считать, что приоритет в этом деле принадлежит Декарту. Основанием этого притязания является рукопись Декарта (ок. 1639), скопированная с оригинала Лейбницем в Париже в 1675—1676 гг. и снова открытая и опубликованная Foucher de Careil в
[11] Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т. д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.
Фазы догадки и испытания в случае V—E+F=2 разобраны Полья (1954), т. 1 (первые пять отделов третьей главы, стр. 35—41). Полья остановился здесь и не разобрал фазы доказательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начинается там, где Polya останавливается.
[12] Так думал Эйлер в
