[45] L. Matthiessen (1863).
[46] Аргументация, что «морской еж» является «в действительности» обыкновенным прозаическим эйлеровым многогранником с 60 треугольными гранями, 90 ребрами и 32 вершинами — «un hexacontaedre sans epithete» — была выставлена крепким бойцом за правильность эйлеровой теоремы Жонкьером (1890а, стр. 115). Однако идея понимания неэйлеровых звездчатых многогранников, как эйлеровых многогранников, состоящих из треугольников, но происходит от Жонкьера, но имеет драматическую историю (см. примечание 49).
[47] Ничто не может быть более характерным для догматистской теории познания, как ее теория ошибок. Действительно, если некоторые истины очевидны, то нужно объяснить, каким образом кто-нибудь может в них ошибаться, иными словами, почему истины не бывают для всех очевидными. Каждая догматистская теория познания в соответствии со своей частной теорией ошибок предлагает свою частную терапевтику для очистки мозга от ошибок. [Ср. Поппер (1963), Введение.]
[48] Пуансо наверняка выстирал свои мозги когда-то между 1809 и 1858 годами. Ведь как раз Пуансо снова открыл звездчатые многогранники, впервые проанализировал их с точки зрения эйлеровости и установил, что некоторые из них, вроде нашего малого звездчатого додекаэдра, не удовлетворяют формуле Эйлера (1809). И вот этот самый Пуансо категорически утверждает в своей работе (1858), что формула Эйлера «верна не только для выпуклых многогранников, но и для любого какого угодно многогранника, включая и звездчатые». На стр. 67 Пуансо для звездчатых многогранников употребляет термин «polyedres d'espece superieure». Противоречие очевидно. Как его объяснить? Что случилось с контрапримером — звездчатым многогранником? Ключ лежит в первой, невинно выглядящей сентенции статьи: «Всю теорию многогранников можно привести к теории многогранников с треугольными гранями». Иными словами, Пуансо — Альфа после стирки мозгов превратился в Пуансо — Ро; теперь он видит одни лишь треугольники там, где раньше видел звездчатые многоугольники; теперь он видит только примеры там, где раньше видел контрапримеры. Самокритика, должно быть, производилась потихоньку, скрыто, так как в научной традиции не существует образцов для выполнения таких поворотов. Можно только задуматься, встретились ли ему когда-нибудь кольцеобразные грани, и если да, то сумел ли он сознательно перетолковать их своим треугольным зрением.
Изменение зрения не всегда действует в том же самом направлении. Например, Беккер (I. С. Becker) в своей работе (1869), увлеченный новосозданными понятиями одно- и многосвязных областей (Риман, 1851), допускал кольцеобразные многоугольники, но остался слепым по отношению к звездчатым (стр. 66). Через пять лет после этой статьи, в которой претендовал на «окончательное» решение задачи, он расширил свое зрение и снова увидел звездчато-многоугольные и звездчато-многогранные фигуры там, где раньше видел лишь треугольники и треугольные многогранники (1874).
[49] Это часть стоической теории ошибок, приписываемой Хрисиппу [см. Аэций (ок. 150, IV, 12, 4); также Секст Эмпирик (ок. 190, I, 249)]. По теории стоиков «морской еж» составляет часть внешней действительности, которая производит впечатление на нашу душу: это phantasia или visum. «Умный человек не должен допускать некритического принятия (synkatathesis или adsensus) phantasia, пока она не созреет в ясную и определенную идею (phantasia kataleptike или comprehensio), чего она не может сделать, если является ложной. Совокупность ясных и определенных идей образует науку (episteme). В нашем случае воздействие «морского ежа» на мозг Альфы будет малым звездчатым додекаэдром, а на мозг Ро — треугольным гексакоптаэдром. Ро хочет претендовать на то, что звездчато-многогранное зрение Альфы, вероятно, не сможет созреть в ясную и определенную идею, очевидно, потому, что оно опровергает «доказанную» формулу Эйлера. Таким образом, звездчато-многогранное толкование отпадет, и ясным и определенным станет его «единственная» альтернатива, а именно треугольное толкование.
[50] Это стандартная критика скептиков претензий стоиков, что они могут отличить phantasia от phantasia kataleptike [см, Секст Эмпирик (ок. 190, I, 405)].
[51] Кеплер (1619), кн. II, предложение XXVI.
[52] Это точное изложение взглядов Кеплера.
[53] Я припоминаю, что Поппер различал три уровня понимания. Самый низший — это приятное чувство, что понял аргументацию. Средний уровень — это когда можешь повторить ее. Высший уровень — когда можешь опровергнуть ее.
[54] Контрапример 6 был замечен Люилье (1812—1813, стр. 186); Жергонн сразу принял новизну его открытия. Но почти через пятьдесят лет Пуансо не слышал о нем (1858), а Маттисен (1863) и восьмьюдесятью годами позже де Жонкьер (1890 b) рассматривали его как монстр (см. подстрочные примечания 49 и 59). Примитивные устранители девятнадцатого века присоединили его к списку других исключений в качестве курьеза: «В качестве первого примера обыкновенно показывают случай трехгранной пирамиды, прикрепленной к грани тетраэдра так, чтобы ни одно ребро первой не совпадало с ребром второй. “Довольно странно, что в этом случае V — Е + F = 3,— вот что написано в моем учебнике для коллежей. И этим кончилось дело”» [Маттисен (1863, стр. 449)]. Современные математики стремятся забыть о кольцеобразных гранях, которые могут быть несущественными для классификации трубопроводов, но могут получить значение в других контекстах. Штейнгауз говорит в своей книге (1960): «Разделим глобус на F стран (мы будем рассматривать моря и океаны как землю). Тогда при любом политическом положении мы будем иметь V+F=E+2» (стр. 273). Но вряд ли можно думать, что Штейнгауз уничтожит Сан-Марино или Западный Берлин просто потому, что их существование опровергает теорему Эйлера. (Конечно, он может избежать того, чтобы озера, вроде Байкала, сделались странами, если назовет их озерами, так как он сказал, что только моря и океаны могут быть рассматриваемы как страны.)
[55] «Мемуар Люилье состоит из двух совершенно различных частей. В первой автор предлагает первоначальное доказательство теоремы Эйлера. Во второй он ставит цель указать исключения, которые имеет эта теорема» (Примечание Жергонна-издателя к статье Люилье в книге Люилье (1812—1813, стр. 172). Подчеркнуто мной.— Авт.].
Захариас (Zacharias) в своей работе (1914—1931) дает некритическое, но верное описание такого разделения на два помещения: «В XIX столетии геометры, кроме нахождения новых доказательств теоремы Эйлера, занимались установлением исключений, которые эта теорема представляет в некоторых условиях. Такие исключения были, между прочим, установлены Пуансо. Люилье и Гессель попытались дать классификацию исключений…» (стр. 1052).
[56] Харди, Литтльвуд, Уайльдер, Полья, по-видимому, упустили это из вида (см. прим. 45).
[57] Этот стандартный образец является по существу единственным описанным в классической книге Полья и Сеге (Szego, 1925, стр. VII): «Должно исследовать каждое доказательство, чтобы убедиться, действительно ли были использованы все предположения; нужно попытаться получить то же самое следствие из меньшего числа предположений… и удовлетвориться можно только, когда контрапримеры покажут, что границы возможного уже достигнуты».
[58] Эта последняя лемма слишком строга. Для целей доказательства достаточно будет заменить ее такой леммой, что «для получающейся после растягивания и триангулирования плоской треугольной сети V — Е + F = 1». Коши, по-видимому, не заметил эту разницу.
[59] В действительности такое доказательство было впервые предложено Рейхардом (Н. Reichardt, 1941, стр. 23), а также Ван дер Варденом (1941). Гильберт и Кон-Фоссен были удовлетворены лишь тем, что истинность утверждения Беты «легко увидеть» (1932, стр. 292 английского перевода).
[60] Polya (1945, стр. 142).
[61] Эта последняя фраза взята из интересной работы Алисы Амброз (Alice Ambrose, 1959, стр. 438).
[62] См. примечание 17. Метафора «застегивания молнии» изобретена Брайтвайтом (R. В. Braithwaite); однако он говорит только о «логических» и «теоретико-познавательных» застегивателях молний, но не об «эвристических» (1953, особенно стр. 352).
[63] Устранение монстров в защиту теоремы является очень важным приемом в неформальной математике. «В чем грешат примеры, для которых неверна формула Эйлера? Какие геометрические условия, уточняющие значения F, V и Е, могут обеспечить справедливость формулы Эйлера?» [Polya (1954), I, упр. 29]. Цилиндр дается в упражнении 24. Ответ таков: «…ребро …должно заканчиваться в углах» (стр. 225)… Полья формирует это вообще: «Довольно часто встречающееся в математических исследованиях положение заключается в следующем: теорема уже сформулирована, но нам требуется дать более точное определение смысла терминов, употребленных при формулировке, чтобы сделать ее строго доказанной» (стр. 55).
[64] Локальные, но не глобальные контрапримеры были разобраны в гл.3.
[65] Это соответствует парадоксу подтверждения [Гемпель (Hempel, 1945)].
[66] См. подстрочное примечание 61.
[67] См. реплику Альфы
[68] Истинные утверждения, не имеющие содержания (vacuously true), о которых говорит Гамма, представляют большое нововведение XIX в. Задний план этой проблемы еще не раскрыт.
[69] «Евклид употребляет аксиому, совершенно не сознавая ее» (Russell, 1903, стр. 407). «Сделать (sic!) скрытое допущение» является общей фразой у математиков и ученых. См. также обсуждение Гамовым доказательства Коши (1953, стр. 56) или Ивс-Ньюса (Eves-Newsom) об Евклиде (1958, стр. 84),
[70] См. реплику Альфы
[71] Хорошие учебники неформальной математики обычно уточняют свою «стенографию», т. е. те ложные или истинные леммы, которые они считают настолько тривиальными, что не заслуживают упоминания. Стандартное выражение для этого таково: «Мы предполагаем знакомство с леммами типа х». Количество того, что предполагается известным, уменьшается по мере того, как критика знание предполагаемое превращает в знание настоящее. Коши, например, даже не заметил, что его прославленное сочинение (1821) предполагало «знакомство» с теорией действительных чисел. Он отбросил бы как монстр всякий контрапример, который потребовал бы явного установления лемм о природе иррациональных чисел. Не так поступили Вейерштрасс и его школа: учебники по неформальной математике теперь содержат новую главу по теории действительных чисел, в которой собраны все эти леммы. Но в их «введениях» обычно принимается «знакомство с теорией рациональных чисел». См., например, Hardy «Pure Mathematics», начиная со второго издания (1914) и далее; в первом издании все еще считалось, что теория действительных чисел относится к предполагаемому у читателей знанию; или Rudin (1953). Более строгие учебники еще более уменьшают предполагаемое знание: Landau во введении к своей знаменитой книге (1930) предполагает знакомство только с «логическим рассуждением и немецким языком». Иронией судьбы Тарский в это же самое время показал, что опускаемые таким образом абсолютно тривиальные леммы могут быть не только неверными, но и несовместимыми, поскольку немецкий является семантически замкнутым языком. Кто может сказать, когда заявление «автор признает свое невежество в области x» заменит авторитетный эвфемизм «автор предполагает знакомство с областью x»? Наверное тогда, когда будет установлено, что знание не имеет основ.
[72] Когда это было впервые открыто, такая скрытая лемма рассматривалась как ошибка. Когда Беккер первый указал на «скрытое» (stillscliweigend) предположение в доказательстве Коши (он цитировал доказательство из вторых рук через Балцера, 1826—1827), то он назвал его «ошибкой» (1869, стр. 67—68). Он обратил внимание на то, что Коши все многогранники рассматривал как простые; его лемма была не только скрытой, но и ложной. Однако историки не могут представить себе, чтобы большие математики делали такие ошибки. Настоящую программу, как нужно фальсифицировать историю, можно найти у Пуанкаре (1908): «Доказательство, не являющееся строгим, есть ничто. Я думаю, что никто не станет оспаривать эту истину. Но если принимать ее слишком буквально, то мы должны прийти к заключению, что, например, до
[73] См. реплику Альфы.
[74] Наш класс был скорее передовым. Альфа, Бета и Гамма выразили подозрение против трех лемм, когда еще не появились глобальные контрапримеры. В действительной истории анализ доказательства появился позже через много декад: в течение долгого периода контрапримеры или замалчивались, или заклинались как чудовища, пли записывались как исключения. Эвристическое движение от глобального контрапримера к анализу доказательства — применение принципа обратной передачи ложности — было по существу неизвестно в неформальной математике раннего XIX столетия.
[75] Фордер (Н. G. Forder, 1927, стр. VIII). Или «Одной из главных заслуг доказательств является то, что они внушают некоторый скептицизм по отношению к доказанному результату» (Russell, 1903, стр. 360. Он дает также великолепный пример).
[76] Хорошо известно, что критика может вызвать подозрение или даже иногда опровергнуть «априорные истины» и, таким образом, превратить доказательства в простые объяснения. Такое отсутствие критицизма или опровержения может превратить не вполне допустимые догадки в «априорные истины»: это не так хорошо известно, но как раз также очень важно. Два самых ярких примера этого представляют возвышение и падение Евклида и Ньютона. История их падения хорошо известна, но историю их возвышения обычно не вполне понимают.
Геометрия Евклида, по-видимому, была предложена как космологическая теория (см. Popper, 1952, стр. 147—148). И ее «постулаты» и «аксиомы» (или «общие понятия») были предложены как смелые, вызывающие предложения, направленные против Парменида и Зенона, учения которых влекли за собой не только ложность, но даже логическую ложность, непредставимость этих «постулатов». Только позже «постулаты» были приняты как несомненно истинные, и смелые антипарменидовские «аксиомы» (вроде «целое больше части») были сочтены настолько тривиальными, что были опущены в позднейших анализах доказательства и превращены в «скрытые леммы». Этот процесс начался с Аристотеля; он заклеймил Зенона как любящего спорить чудака, и его аргументы как «софистику». Эта история была недавно рассказана с интересными подробностями Арпадом Сабо (1960, стр. 65—84). Сa6o показал, что в эпоху Евклида слово «аксиома», как и «постулат», обозначало предположение в критическом диалоге (диалектическом), выставленное для того, чтобы проверить следствия, причем партнер по дискуссии не обязан был принимать его как истину. По иронии истории его значение оказалось перевернутым. Вершина авторитета Евклида была достигнута в век просвещения. Клеро побуждал своих товарищей не «затемнять доказательств и раздражать читателей», выставляя очевидные истины: Евклид делал это лишь для того, чтобы убедить «упорствующих софистов» (1741, стр. X и XI).
Далее механика и теория тяготения Ньютона были выставлены как смелая догадка, которая была осмеяна и названа «темной» Лейбницем и была подозрительной даже для самого Ньютона. Но через несколько декад — при отсутствии опровержений — его аксиомы дошли до того, что были признаны несомненно истинными. Подозрения были забыты, критики получили клеймо «эксцентрических», если не «обскурантов»; некоторые из его наиболее сомнительных допущений стали рассматриваться настолько тривиальными, что учебники даже никогда не упоминали их. Дебаты — от Канта до Пуанкаре — шли уже не об истинности ньютоновской теории, но о природе ее достоверности. (Этот поворотный пункт в оценке ньютоновской теории был впервые указан Карлом Поппером — см. его книгу, 1963, passim.)
Аналогия между политическими идеологиями и научными теориями идет гораздо дальше, чем обычно полагают: положительные теории, которые первоначально могли дебатироваться (и, может быть, принимаемы только под давлением), могут превращаться в бесспорные основы знания даже за время одного поколения: критики бывали забыты (и, может быть, даже казнены) до тех пор, пока революция не выдвигала снова их возражений.
[77] Это правило, по-видимому, впервые было выдвинуто Зейделем (Ph. L. Seidel, 1847, стр. 383).
[78] «Я имею право выдвинуть пример, удовлетворяющий условиям вашей аргументации, и я сильно подозреваю, что те примеры, которые вы называете странными и искусственными, в действительности будут затрудняющими вас примерами, предосудительными для вашей теоремы» (Дарбу, 1874).
[79] «Я приведен в ужас множеством неявных лемм. Придется затратить много труда, чтобы избавиться от них» (Дарбу, 1883).
[80] См. параграф 4,б и реплику Учителя.
[81] Пуанкаре (1905, стр. 216).
[82] Там же, стр. 216. Изменения Критерия «строгости доказательства» производят в математике большие революции. Пифагорейцы считали, что строгие доказательства могут быть только арифметическими. Однако они открыли строгое доказательство, что Ö2 был «иррациональным». Когда этот скандал вышел наружу, то критерий был изменен: арифметическая интуиция была дискредитирована и ее место заняла геометрическая интуиция. Это означало большую и сложную реорганизацию математического знания (была введена теория пропорций). В восемнадцатом столетии «вводящие в заблуждение» чертежи испортили репутацию геометрических доказательств и девятнадцатый век увидел снова арифметическую интуицию, воцарившуюся при помощи сложной теории действительных чисел. Сегодня основные споры идут о том, что является или не является строгим в теоретико-множественных и математических доказательствах, как это видно из хорошо известной дискуссии о допустимости мысленных экспериментов Цермело и Гентцена.
