АСПСП

Цитата момента



Одиночество — это когда ты всегда знаешь, где лежат твои вещи.
Мы этим — не страдаем!

Синтон - тренинг центрАссоциация профессионалов развития личности
Университет практической психологии

Книга момента



Д’Артаньян – герой? Какой же он герой, если у него были руки и ноги? У него было все – молодость, здоровье, красота, шпага и умение фехтовать. В чем героизм? Трус и предатель, постоянно делающий глупости ради славы и денег, - герой?

Рубен Давид Гонсалес Гальего. «Белым по черному»

Читать далее >>


Фото момента



http://old.nkozlov.ru/library/fotogalereya/s374/d3354/
Мещера

[83] Как уже было указано, наш класс является очень передовым.

[84] Термин «психологизм» был создан Гуссерлем (1900). Раннюю «критику» психологизма см. у Фреге (Frege, 1893, стр. XV— XVI). Современные интуиционисты (не как Альфа) открыто принимают психологизм: «Математическая теорема выражает чисто эмпирический факт, а именно успех некоторого построения… математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга» (Гейтинг (Heyting, 1956, стр. 8 и 10)]. Как они примиряют психологизм с достоверностью, представляет их хорошо охраняемый секрет.

[85] Что мы не смогли бы как следует выразить словами совершенное знание, даже если бы обладали им, было общим местом у древних скептиков [см. Секст Эмпирик (ок. 190), I, 83—87], но было забыто в век просвещения. Это было снова открыто интуиционистами: они приняли кантову философию математики, но указали, что «между совершенством собственно математики и совершенством математического языка нельзя видеть ясной связи» [Броувер (Brouwer), 1952, стр. 140]. «Выражение при помощи сказанного или написанного слова — хотя и необходимо для сообщения — никогда не бывает адекватным. Задача науки заключается не в изучении языков, но в создании идей» (Heyting, 1939, стр. 74-75).

[86] Brouwer (1952), стр. 141.

[87] Английский язык имеет термин «infinite regress», но это будет только частным случаем порочной бесконечности (schlechte Unendlichkeit) и не будет здесь применимым. Альфа, очевидно, построил фразу, имея в мыслях «порочный круг».

[88] Обычно, взяв альтернативную систему длинных определений, математики избегают длинных теорем, так что в теоремах появляются только определенные термины, например, «ординарный многогранник»; это будет более экономичным, так как одно определение сокращает много теорем. Даже и так определения занимают огромное место в «строгих» изложениях, хотя приводящие к ним монстры редко упоминаются. Определение «эйлерова многогранника» (с определениями некоторых определяющих терминов) занимает у Фордера (1927, стр. 67 и 29) около 25 строк; определение «ординарного многогранника» в издании 1962 г. «Encyclopedia Britannica» заполняет 45 строк.

[89] «Логика заставляет нас отбросить некоторые аргументы, но она не может заставить нас верить любому аргументу» (Лебег, 1928, стр. 328).

* Quod erat demonstrandum (лат.) — что требовалось доказать; Quod erat demonstratum (лат.) — что было доказано.— Прим. пер.

[90] Мур (Е. Н. Moore), 1902, стр. 411.

[91] «Природа уличает скептиков, рассудок уличает догматиков» [Паскаль, 1654. См. Oeuvres completes (Chevalier). Paris, 1954, стр. 1206—1207]. Немногие математики признаются, как Бета, что разум слишком слаб для оправдания самого себя. Большая часть их принимает некоторое клеймо догматизма, историзма или спутанного прагматизма и остается курьезно слепой к невозможности поддерживать это, например: «Математическое рассуждение проводится с такой скрупулезностью, которая делает его бесспорным и убедительным для каждого, кто только его поймет. …Однако строгость математики не абсолютна: она развивается; принципы математики не застыли раз навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров» (А. Д. Александров, 1956, стр. 7). Эта цитата может напомнить нам, что диалектик пытается учитывать изменение, не пользуясь критицизмом; для него истины находятся «в непрерывном развитии», но всегда «полностью бесспорны».

* См. сноску 73.- Прим. пер.

[92] См. реплику Учителя.

[93] Обсуждение этого случая см. в гл.3.

[94] Омега, по-видимому, забывает третью возможность: Гамма может о успехом требовать, что поскольку локальные, но не глобальные, контрапримеры не обнаруживают какого-нибудь нарушения принципа обратной передачи ложности, то нет надобности в каких-нибудь действиях.

[95] См. параграф 5, г.

[96] Обсуждение этого второго случая см. после реплики Беты.

[97] См. там же.

[98] См. главу 3.

[99] См. там же.

[100] Доказательство Жергонна можно найти у Люилье (1812— 1813, стр. 177—179). В оригинале оно, конечно, не заключало никаких фотографических устройств. Оно гласило: «Возьмите многогранник с одной прозрачной гранью; представьте себе, что снаружи к этой грани приближается глаз настолько плотно, что может увидеть внутренние стороны всех других граней…» Жергонн скромно отмечает, что доказательство Коши является более глубоким, поскольку «оно имеет ценное преимущество, что совершенно не предполагает выпуклости» (однако ему не пришло в голову спросить, что же именно оно предполагает). Штейнер позднее снова открыл по существу то же самое доказательство (1826). Его внимание обратили на приоритет Жергонна; тогда он прочел работу Люилье со списком исключений, но это не помешало ему закончить свое доказательство такой «теоремой»: «Все многогранники являются эйлеровыми». Именно эта работа Штейнера заставила Гесселя — немецкого Люилье — написать свою работу (1832).

[101] Доказательство Лежандра можно найти в его работе (1794), но там нет теоремы, порожденной доказательством, так как анализ доказательства и образование теорем были в XVIII в. по существу неизвестны. Лежандр сначала определяет многогранники как твердые тела, поверхность которых состоит из многоугольных граней (стр. 161). Затем он доказывает, что V—E+F=2 вообще (стр. 228). Но здесь имеется устраняющая исключения поправка в примечании курсивом на стр. 164, гласящая, что будут рассматриваться только выпуклые многогранники. Он игнорировал почти выпуклое обрамление. Пуансо первый, комментируя доказательство Лежандра, заметил в своей работе (1809), что формула Эйлера справедлива не только для обыкновенных выпуклых тел, а именно, поверхность которых пересекается прямой линией не более чем в двух точках; она справедлива также для многогранников с входящими углами в предположении, что внутри тела можно найти точку, служащую центром сферы, на которую прямыми линиями, идущими из центра, можно спроектировать грани многогранника так, чтобы их проекции не перекрывали друг друга. Это применимо к бесконечному множеству многогранников с входящими углами. Действительно, при этом положении доказательство Лежандра применимо ко всем таким добавочным многогранникам.

[102] Жонкьер продолжает, снова заимствуя аргумент у Пуансо (1858): «Призывая Лежандра и подобные высокие авторитеты, только способствуешь широко распространенному предубеждению, которое пленило даже некоторые из наилучших интеллектов, а именно, что область применимости теоремы Эйлера ограничена только выпуклыми многогранниками» (1890а, стр. 111).

[103] Это из Пуансо (1858, стр. 70).

[104] Зоммервилъ (D. М. У. Sommerville), 1929, стр. 143—144.

[105] Этот «большой звездчатый додекаэдр» уже был придуман Кеплером (1619, стр. 58), затем независимо от него Пуансо (1809), который испытывал его на эйлеровость. Рисунок 15 скопирован с книги Кеплера.

[106] Я не был в состоянии определить, откуда взята эта цитата. (Это — шутливое подражание Галилею.— Прим. пер.)

[107] См. примечание 111.

[108] Ответ заключается в знаменитой папповой эвристике античности, которая применялась только к нахождению «финальных», «окончательных» истин, т. е. к теоремам, которые содержали сразу и необходимые и достаточные условия. Для «задач на доказательство» основное правило эвристики было: «Если у вас есть догадка, то выведите из нее следствия. Если вы придете к следствию, о котором известно, что оно ложно, то догадка была ложной. Если вы придете к следствию, о котором известно, что оно истинно, то обратите порядок доказательств и, если догадка может быть таким образом выведена из истинных следствий, то она была истинной» (ср. Heath, 1925, 1, стр. 138—139). Принцип «causa aequat effectu» (причина равна следствию.— Прим. пер.) и поиски теорем с необходимыми и достаточными условиями заключались в этой традиции. Только в семнадцатом веке, когда все усилия применить паппову эвристику к новой науке оказались тщетными, поиски верности получили верх над поисками окончательности.

[109] Это доказательство принадлежит Пуанкаре [см. его работы (1893) и (1899)].

[110] Есть много других доказательств догадки Эйлера. Детальный эвристический разбор доказательств Эйлера, Жордана и Пуанкаре см. Lacatos (1961).

[111] Пуансо, Люилье, Коши, Штейнер, Крелле все думали, что различные доказательства доказывают одну и ту же теорему — «теорему Эйлера». Процитируем характерную фразу из стандартного учебника: «Эта теорема восходит к Эйлеру, первое доказательство дано Лежандром, второе Коши» (Крелле, 1827, II, стр. 671).

Пуансо очень близко подошел к тому, чтобы заметить эту разницу, когда сказал, что лежандрово доказательство применимо не только к обыкновенным выпуклым многогранникам. (см. примечание 103). Но когда он затем сравнил доказательство Лежандра с эйлеровым (тем, которое основано на обрезании пирамидальных углов многогранника так, что в окончательном результате получается тетраэдр с неизменившейся эйлеровой характеристикой) (1751), то он отдал предпочтение лежандрову на основании «простоты». Эта «простота» стоит здесь в согласии с идей XVIII в. о строгости: ясность в мысленном эксперименте. Ему не пришло в голову сравнить оба доказательства по содержанию; тогда эйлерово доказательство оказалось бы более высоким. (По существу в доказательстве Эйлера нет никаких неправильностей. Лежандр применил субъективный стандарт современной ему строгости и пренебрег объективным стандартом содержания.)

Люилье в скрытой критике этого места (он не упоминает Пуансо) указывает, что простота Лежандра является только «кажущейся», потому что она предполагает довольно большое предварительное знание сферической тригонометрии (1812—1813, стр. 171). Но Люилье тоже верит, что Лежандр «доказал ту же теорему», что и Эйлер (там же, стр. 170).

Штейнер присоединяется к нему в оценке доказательства Лежандра и в мнении, что все доказательства доказывают ту же теорему (1826). Единственная разница заключается в том, что, по Штейнеру, все различные доказательства доказывают, что «все многогранники будут эйлеровыми», по Люилье же, все различные доказательства доказывают, что «все многогранники, не имеющие туннелей, пустот и кольцевидных граней, будут эйлеровыми».

Коши написал свою работу (1811) о многогранниках, когда ему еще было чуть больше двадцати лет, задолго до его революции строгости, и нельзя упрекать его, что он во введении ко второй части своего трактата повторяет принадлежащее Пуансо сравнение доказательств Эйлера и Лежандра. Он — как и большинство его современников — не понял различия в глубине разных доказательств и не мог оценить действительную силу своего собственного доказательства. Он думал, что дал только еще одно доказательство той же самой теоремы, но с готовностью подчеркивал, что просто получил тривиальное обобщение формулы Эйлера для некоторых групп многогранников.

Жергонн был первым, кто оценил несравненную глубину доказательства Коши (Люилье, 1812—1813, стр. 179).

[112] См. реплику Омеги и реплику Мю.

[113] См. реплику Омеги.

[114] Эта задача, была отмечена Люилье (1812—1813, стр. 189) и независимо от него Гесселем (1832). В статье Гесселя рисунки обеих картинных рам помещены рядом. См. также подстрочное примечание 134.

[115] Полья называет это «парадоксом изобретателя» (1945, стр. 110).

[116] См. примечание 123. Эта таблица заимствована у Полья (1954, т. I, стр. 36).

[117] См. главу 1.

[118] Это важное уточнение для примечания 17.

[119] Полья (1957), т. I, стр. 5 и 7.

[120] См. прим.118.

[121] Эти испытания и ошибки были прекрасно реконструированы Полья. Первая догадка состоит в том, что F возрастает вместе с V. Когда это было отвергнуто, то последовали еще две догадки: Е возрастает вместе с F; E возрастает вместе с V. Четвертой была выигрышная догадка: Р + V возрастает вместе с Е (1954, т. I, стр. 35—37).

[122] С другой стороны, те, которые вследствие обычного дедуктивного представления математики начинают думать, что путь открытия идет от аксиом и (или) определений к доказательствам и теоремам, могут полностью забыть о возможности и важности наивного угадывания. Фактически в математической эвристике наибольшую опасность представляет дедуктивизм, тогда как в научной эвристике, наоборот, индуктивизм.

[123] Возрождением математической эвристики в этом веке мы обязаны Полья. Его подчеркивание сходств между математической и научной эвристикой является одной из важных черт его замечательного труда. То, что можно рассматривать как единственную его слабость,— связано с его силой: он никогда не ставил под вопрос индуктивность науки и вследствие своего правильного представления глубоких аналогий между научной и математической эвристикой пришел к мысли, что математика тоже является индуктивной. То же самое случилось ранее с Пуанкаре (см. его книгу, 1902, Введение) и также с Фреше (1938).

[124] См. реплику Альфы.

[125] Согласно эвристике Паппа, математическое открытие начинается с догадки, за которой следует анализ. Предполагается, что если анализ не обнаружит ложность догадки, то затем следует синтез (см. примечания 17 и 110). Но в то время как наше понимание анализа-синтеза улучшает предположение, паппово понимание только доказывает или отвергает его.

[126] См. Robinson (1936), стр. 471.

[127] См. реплику Учителя.

[128] Это было сделано Рашигом (Raschig, 1891).

[129] Норре (1879), стр. 102.

[130] Это тоже часть папповой эвристики. Анализ, начинающийся с догадки, он называет «теоретическим», а анализ, начинающийся без догадки,— «проблемным» (Heath, 1925, т. I, стр. 138). Первый относится к проблемам для доказательства, а второй — к проблемам для решения (или к проблемам для нахождения). См. также Polya (1945), стр. 129-136 («Папп») и 197-204 («Работая назад»).

[131] Этот «порядок» был восстановлен Люилье приблизительно с той же формулой (1812—1813, стр. 189) и Гессолем с нескладной, придуманной ad hoc формулой относительно различных способов соединения друг с другом эйлеровых многогранников (1832, стр. 19—20). Ср. примечание 116.

[132] Исторически Люилье в своей книге (1812—1813) при помощи наивной догадки сумел обобщить формулу Эйлера и пришел к такой формуле: V — Е + F = 2[(с — Т + 1) + (р1, + р2 + …)], где с — число полостей, Т — туннелей и pi — число внутренних многоугольников на каждой грани. Он также доказал ее для «внутренних многоугольников», но туннели как будто доставили ему затруднения. Он построил эту формулу, пытаясь разобраться в своих трех видах «исключений», но его список исключений неполон (см. примечание 37). Более того, эта неполнота не была единственной причиной ложности его наивной догадки; он не заметил, что могут существовать многосвязные полости, что не всегда можно однозначно определить число туннелей в многограннике с разветвляющимися туннелями, и что основное значение имеет не «число внутренних многоугольников», но число кольцеобразных граней (его формула отказывает в случае двух прилегающих внутренних многоугольников с общим ребром). Критику индуктивного обобщения Люилье можно найти у Листинга (1861, стр. 98—99). См. также примечание 159.

[133] Очень небольшое число математиков девятнадцатого столетия были смущены таким тривиальным увеличением содержания и действительно не знали, что с ним делать. Некоторые — вроде Мебиуса — пользовались определениями, устраняющими монстры (см. стр. 24); другие — вроде Гоппе — исправлением монстров. Книга Гоппе (1879) в особенности показательна. С одной стороны, он — как большое число его современников — очень хотел получить совершенно законченную «обобщенную формулу Эйлера», которая покрывала бы все. С другой стороны, он чувствовал отвращение к тривиальным сложностям. Поэтому, говоря, что его формула «полная, всеобъемлющая», он смущенно добавлял, что «особые случаи могут сделать сомнительным перечисление (составных элементов)» (стр. 103). Иными словами, если какой-нибудь неуклюжий многогранник не подходит под его формулу, то его элементы были неправильно сосчитаны и это уродство должно быть исправлено при помощи правильного зрения; например, общие вершины и ребра тетраэдров-близнецов должны быть увидены и сосчитаны дважды и каждый близнец должен считаться за отдельный тетраэдр (там же). Дальнейшие примеры см. примечание 166.

[134] См. параграф 5, г.

[135] Ср. реплику Гаммы и сл.

[136] Древние философы не колебались выводить догадку из очень тривиального ее следствия (см., например, наше синтетическое доказательство, ведущее от треугольника к многограннику). Платон считал, что «единственная аксиома может быть вполне достаточной для рождения целой системы». Вообще он думал, что одна гипотеза является плодовитой сама по себе, пренебрегая в своей методологии другими предпосылками, с которыми он соединял ее (Робинсон, 1953, стр. 168). Это характерно для древней неформальной логики, т. е. для логики доказательства, или мысленного эксперимента, или построения; мы считаем ее как бы энтимематической (уже содержащейся в мысли.— И. В.) вследствие задней мысли; только позже увеличение содержания стало знаком не силы, но слабости индукции. Древнюю неформальную логику энергично защищали Декарт, Кант, Пуанкаре; все они пренебрегали аристотелевской формальной логикой, отбрасывая ее как бесплодную и не относящуюся к делу, и в то же самое время восхваляя непогрешимость плодовитой неформальной логики.



Страница сформирована за 0.76 сек
SQL запросов: 170