[137] Пуанкаре (1902), стр. 33.
[138] Поиски скрытых лемм, зародившиеся только в математическом критицизме середины девятнадцатого века, были тесно связаны с процессом, который позднее доказательства заменил анализом доказательств и законы мысли – законами языка. Наиболее важным достижением в теории логики обыкновенно предшествовало развитие математического критицизма. К несчастью, даже лучшие историки логики стремятся обращать исключительное внимание на изменения в логической теории, не замечая их корней в изменениях логической практики. См. также примечание 179.
[142] Альфа, конечно, кажется соскользнувшим в ложность дедуктивной эвристики. Ср. примечание 125.
[143] Декарт (1628), Правило III.
[144] См. реплику Альфы.
[145] См. Люилье (1812-1813а), с.233.
[146] Рис. 6 в книге Эйлера (1750) изображает первый многогранник с вогнутостями, появившийся в геометрических текстах. Лежандр говорит о выпуклых и вогнутых многогранниках в своей книге (1794). Но до Люилье никто не упоминал вогнутых многогранников, которые не были простыми.
Однако можно добавить одно интересное замечание. Первым классом многогранников, который когда-нибудь подвергался исследованию, были пять обыкновенных правильных многогранников и квазиправильные многогранники вроде призм и пирамид (ср. Евклид). После Возрождения этот класс был распространен в двух направлениях. Одно из них указано в тексте: включены все выпуклые и некоторые слегка заостренные многогранники. Другое направление принадлежало Кеплеру: он расширил класс правильных многогранников изобретением правильных звездчатых многогранников. Но кеплерово нововведение было забыто и возобновлено лишь Пуансо (см. прим. 26.). Звездчатые многогранники Эйлеру наверняка не снились. Коши знал их, но его ум был как-то разделен на отдельные помещения: когда у него появлялась интересная идея о звездчатых многогранниках, то он публиковал ее; однако, представляя контрапримеры для своей общей теоремы о многогранниках, он игнорировал звездчатые многогранники. Молодой Пуансо (1809) поступал не так, но позже он изменил свое мнение (см. прим. 49).
Таким образом, утверждение Пи, хотя и правильное с эвристической точки зрения (т. е. верное в рациональной истории математики), исторически является ошибочным. (Это не должно нас беспокоить: действительная история часто бывает карикатурой на рациональные ее реконструкции).
[147] Интересный пример определения, включающего монстры, представляет данное Пуансо вторичное определение выпуклости, включающее звездчатые многогранники в респектабельный класс выпуклых правильных тел (1809).
[148] Фактически так и было в случае Коши. Непохоже, чтобы Коши, уже открыв свой революционный метод устранения исключений (см. замечание автора), не стал бы искать и не нашел бы некоторых исключений. Не он, вероятно, подошел к проблеме исключений только позже, когда решил расчистить хаос в анализе. (По-видимому, Люилье первый заметил и учел тот факт, что такой «хаос» не ограничивается анализом).
Историки, в частности Steinitz в работе (1814—1831), говорят, что Коши, заметив неуниверсальную годность его теоремы, установил ее только для выпуклых многогранников. Действительно, в своем доказательстве он пользуется выражением «выпуклая поверхность многогранника» (1811, стр. 81), а в своей работе (1812) он возобновляет теорему Эйлера под общим заглавием «теоремы о телесных углах и выпуклых многогранниках». Но, вероятно, для противодействия этому заглавию он особенно подчеркивает универсальную приложимость теоремы Эйлера ко всяким многогранникам (теорема XI, стр. 94), тогда как три остальных теоремы (теорема XIII и два ее следствия), он формулирует специально для выпуклых многогранников (стр. 96 и 98).
Почему у Коши небрежна терминология? Понятие Коши о многограннике почти совпадало с понятием выпуклого многогранника. Но оно не совпадало в точности: Коши знал вогнутые многогранники, которые можно получить, слегка вдавливая во внутрь грань выпуклого многогранника, но он не обсуждал казавшихся неуместными дальнейших подтверждений — не опровержений — его теоремы. (Подтверждения нельзя равнять с контрапримерами, или даже с «исключениями», в качестве катализаторов роста понятий). Такова причина случайного употребления Коши слова «выпуклый»; скорее это было неудачей, невозможностью понять, что вогнутые многогранники могут дать контрапримеры, чем сознательной попыткой исключить эти контрапримеры. В том же самом параграфе он аргументирует, что теорема Эйлера представляет «непосредственное следствие» леммы, что V — Е + F — 1 для плоской многоугольной сети, и утверждает, что «для приложимости теоремы V — Е + F = 1 не имеет значения, лежат ли многоугольники в одной, или в различных плоскостях, так как теорема интересуется только числом многоугольников и числом их составных элементов» (стр. 81). Этот аргумент вполне правилен в узкой концептуальной системе Коши, но будет неправильным в более широкой, в которой «многогранником» можно назвать, скажем, картинную раму. Этот аргумент часто повторялся в первой половине девятнадцатого столетия [См. Оливье (Olivier), 1826, стр. 230, или Грунерт (Grunert), 1827, стр. 367, или Балцер (Н. Baltzer), 1860—1862, т. И, стр. 207. Он был раскритикован Беккером (1869), стр. 68].
Часто, как только расширение понятия опровергает предложение, то опровергнутое предложение кажется такой очевидной ошибкой, что нельзя даже представить, как могли се сделать великие математики. Эта важная характерная черта опровержения, связанного с расширением понятий, объясняет, почему уважаемые историки, не понимая, что понятия растут, создают для себя лабиринты проблем. После того, как они спасли Коши указанием, что он, вероятно, не мог упустить из виду «многогранников, которые не были простыми», и поэтому он «категорически» (!) ограничил теорему областью выпуклых многогранников, уважаемые историки должны теперь объяснить, почему граничная линия Коши «без всякой необходимости» была так узка. Почему он игнорировал невыпуклые эйлеровы многогранники? Объяснение Штейница таково: корректная формулировка теоремы Эйлера должна быть сделана в терминах связности поверхностей. Так как во времена Коши это понятие еще не было «ясно схвачено», то простейшим выходом было принять выпуклость (стр. 20). Так Штейниц объясняет ошибку, которой Коши никогда не делал.
Другие историки идут путем, отличным от этого. Они говорят, что до момента достижения правильной концептуальной системы (т. е. той, которую они знают) была только «средневековая тьма» с «редкими, если таковые и были, здравыми» результатами. Таким моментом в теории многогранников было, по Лебегу (1923, стр. 59—60), доказательство Жордана (Jordan, 1866) или, по Беллу (Bell, 1945, стр. 460), доказательство Пуанкаре (1895).
[149] См. реплику Омеги в параграфе 6, а.
[150] См. прим. 55.
[151] Дарбу (1874) близко подошел к этой идее. Позже она была ясно сформулирована Пуанкаре: «Математика есть искусство давать то же имя различным вещам… Если выбрать хороший язык, то можно удивиться, узнав, что доказательства, подготовленные для известного предмета, непосредственно применимы ко многим новым предметам без дальнейших изменений — можно даже удержать названия» (1908, стр. 375). Фреше называет это «необычайно полезным принципом обобщения» и формулирует его так: «Если ряд свойств математической единицы, использованный в доказательстве предложения об этой единице, не определяет эту единицу, то предложение может быть распространено так, что может быть применимо к более общей единице» (1928, стр. 18). Он указывает на то, что такие обобщения не являются тривиальными и «могут требовать очень больших усилий» (там же).
[152] Коши не заметил этого. От данного Учителем его доказательство отличалось одной важной деталью: Коши в своей работе (1811—1812) не воображал, что многогранники сделаны из резины. Новизна идеи его доказательства заключалась в том, что он представлял многогранник как поверхность, а не как твердое тело вместе с Евклидом, Эйлером и Лежандром. Но эту поверхность он представлял твердой. Когда он вынимал одну грань и оставшуюся пространственную сеть многоугольников накладывал на плоскую многоугольную сеть, то он не представлял это наложение как растягивание, которое могло бы изогнуть грани или ребра. Первым математиком, заметившим, что доказательство Коши может быть выполнено на многогранниках с изогнутыми гранями, был Крелле (1826—1827, стр. 671—672), но он тщательно придерживался прямых ребер. Для Кэйли, однако, казалось возможным узнать «с первого взгляда», что «теория не изменится существенно, если допустить, что ребра могут быть кривыми линиями» (1861, стр. 425). То же самое замечание было независимо сделано в Германии Листингом (1861, стр. 99) и во Франции Жорданом (1866, стр. 39).
[153] Эта теория образования понятия соединяет образование понятий с доказательствами и опровержениями. Полья соединяет ее с наблюдениями. «Когда физики начали говорить об «электричестве», или врачи о «заразе», то эти термины были смутными, неясными, спутанными. Термины, употребляемые современными учеными, вроде «электрический заряд», «электрический ток», «бактериальные» или «вирусные» заражения, несравненно яснее и определеннее. Однако между обеими этими терминологиями находится громадная масса наблюдений, множество остроумных опытов и также несколько больших открытий. Индукция изменила терминологию, выяснила понятия. Этот аспект процесса, индуктивное разъяснение понятий мы можем пояснить также и математическими примерами» (1954, т. I, стр. 55). Но даже эта ошибочная индуктивистская теория образования понятий предпочтительнее попыток сделать образование понятий автономным, сделать «выяснение» или «объяснение» понятий предисловием к любой научной дискуссии.
[154] См. параграф 6, в.
[155] Гоббс [Hobbes (1654). Animadversions upon the Bishop's Reply, № XXI]
[156] См. прим. 111.
[157] Представляет интерес проследить постепенные изменения от достаточно наивных классификаций многогранников к высокотеоретическим. Первая наивная классификация, покрывающая не только простые многогранники, идет от Люилье: классификация по числу полостей, туннелей и внутренних многоугольников (см. примечание 134).
а) Полости. Первое доказательство Эйлера, а также собственное Люилье (1812—1813, стр. 174—177), основывалось на разложении тела при помощи обрезания одного за другим углов, или разложения на пирамиды с одной или многими точками внутри. Однако идея доказательства Коши (Люилье об этом не знал) основывалась на разложении поверхности многогранников. Когда теория многогранных поверхностей полностью вытеснила теорию многогранных тел, то полости стали неинтересными: один «многогранник с полостями» превращают в целый класс многогранников. Таким образом, наше старое устраняющее монстры Определение 2 стало определением, рожденным доказательством, или теоретическим, и таксономическое понятие «полости» исчезло из основного русла развития.
б) Туннели. Уже Листинг указал на неудовлетворительность этого понятия (см. примечание 134). Замена пришла не от какого-нибудь «объяснения» неясного понятия о туннеле, как был бы склонен ожидать последователь Карнапа, но от попытки доказать и опровергнуть наивную догадку Люилье об эйлеровой характеристике многогранников с туннелями. В течение этого процесса понятие о многограннике с туннелями исчезло и его место заняла рожденная доказательством «многосвязность» (то, что мы назвали «n-сфероидальность»). В некоторых статьях мы находим, что наивный термин удерживается для обозначения нового рожденного доказательством понятия: Гоппе число «туннелей» определяет числом разрезов, после которых многогранник остается односвязным (1879, стр. 102). Для Эрнста Штейница понятие о туннеле является уже настолько укоренившимся в теории, что он неспособен найти «существенную» разницу между наивной классификацией Люилье по числу туннелей и рожденной доказательством классификацией по многосвязности: поэтому критику Листинга классификации Люилье он считает «в высшей степени оправданной» (1914—1931, стр. 22).
в) Внутренние многоугольники. Это наивное понятие тоже было скоро заменено сначала кольцеобразными, а затем многосвязными гранями (см. также примечание 134). (Заменено, но не «объяснено», так как «кольцеобразную грань», конечно, нельзя назвать объяснением внутреннего многоугольника). Однако когда теория многогранных поверхностей была вытеснена, с одной стороны, топологической теорией поверхностей, а с другой — теорией графов, то задача о влиянии многосвязных граней на эйлерову характеристику многогранников потеряла всякий интерес.
Таким образом, из трех ключевых понятий первой наивной классификации «осталось» только одно, и то в еле узнаваемой форме — обобщенная формула Эйлера для этого этапа получила вид V — Е + F = 2—2n. (Относительно дальнейшего развития см. примечание 166).
[158] Что касается наивной классификации, то номиналисты близки к истине, считая, что единственной вещью, общей для всех многогранников (или, если воспользоваться любимым выражением Витгенштейна, для всех игр), будет их имя. Но после нескольких столетий доказательств и опровержений по мере развития теории многогранников (или, скажем, теории игр) теоретическая классификация заменяет наивную, баланс меняется в пользу реалистов. Проблема универсалий должна быть пересмотрена ввиду того, что по мере роста знания язык меняется.
[159] Феликс (Felix) 1957, стр. 10. В соответствии с логическим позитивизмом исключительной задачей философии является построение «формализованных» языков, в которых искусственно замораживаются состояния науки (см. нашу цитату из Карнапа во Введении). Но такие исследования редко становятся ходовыми до того, как быстрый рост науки устраняет старую «систему языка». Наука учит нас не стремиться сохранить любую данную концептуально-лингвистическую систему, иначе она обратится в тюрьму понятий, тогда как исследователи языка заинтересованы в том, чтобы, по крайней мере, замедлить этот процесс с целью оправдать свою лингвистическую терапевтику, т. е. показать, что они имеют важнейший источник питания для науки, весьма для последней ценный, что они не вырождаются в «хорошо засушенное крючкотворство» (Эйнштейн, 1953). Аналогичную критику логического позитивизма дал Поппер; см. его книгу (1934), стр. 128, примечание 3.
[160] Полья делает различие между «простым» и «строгим» испытаниями. «Строгое» испытание может дать «первый намек на доказательство» (1954, т. I, стр. 34—40).
[161] В неформальной логике нет ничего плохого в «факте, таком обыкновенном в математике и все же столь удивительном для начинающего или для философа, считающего себя передовым, а именно, что общий случай может быть логически эквивалентным частному» [Полья (1954, т. I, стр. 17)]. Также см. Пуанкаре (1902), стр. 31—33.
[162] Кэйли (1861) и Листинг (1861) принимали всерьез расширение основных понятий теории многогранников. Кэйли определял ребро как «путь от вершины к ней же или к какой-нибудь другой вершине», но допускал вырождение ребер в лишенные вершин замкнутые кривые, которые он называл «контурами» (стр. 426). У Листинга был один термин для ребер, имеют ли они две вершины, одну или совсем не имеют — это «линии» (стр. 104). Оба поняли необходимость совершенно новой теории для объяснения «причуд», которые они сами натурализовали своей либеральной системой понятий — Кэйли изобрел «Theory of Partitions of a Close». Листинг — один из великих пионеров современной топологии,— «Census of Spatial Complexes».
[163] См. параграф 4, г.
[164] Очень немногие математики могут отличить тривиальное от нетривиального. Это в особенности неудобно, когда отсутствие понимания нужности соединено с иллюзией о возможности построения совершенно полной формулы, которая исчерпывает все возможные случаи (см. примечание 135). Такие математики могут годами работать над «окончательным» обобщением формулы и кончить ее распространением с небольшим числом тривиальных поправок. Выдающийся математик Беккер дает забавный пример: после многолетней работы он дал формулу V — Е + F = 4 — 2n + q, где n — число разрезов, необходимых для разделения многогранной поверхности на односвязные поверхности, для которых V — Е + F = 1, а q — число диагоналей, которое надо добавить для приведения всех граней к односвязным (1869, стр. 72). Он был очень горд своим достижением, которое — он думал — проливает «совершенно новый свет» и даже «приводит к заключению» «дело, которым до него интересовались люди, вроде Декарта, Эйлера, Коши, Жергонна, Лежандра, Грунерта и фон Штаудта» (стр. 65). Но в его списке недостает трех имен: Люилье, Жордана и Листинга. Когда ему сказали насчет Люилье, то он опубликовал жалостную заметку, признавая, что Люилье знал все это более чем пятьдесят лет тому назад. Что касается Жордана, то он не интересовался кольцеобразными гранями, но, как оказалось, имел склонность к открытым многогранникам с границами, так что в его формуле m — число границ — фигурирует в добавлении к n (1866а, стр. 86). Тогда Беккер — в новой статье (1869а) — скомбинировал формулы Люилье и Жордана в V — Е + F = 2—2n + q + m (стр. 343). Но он слишком торопился выйти из затруднения и не переварил длинную статью Листинга. И так он печально заключил свою работу (1869а), что «обобщение Листинга все же обширнее». Между прочим, позднее он пытался распространить свою формулу также и на звездчатые многогранники (1874), см. примечание 49.
[165] Некоторые могут придерживаться филистерских идей о законе уменьшения результатов от опровержений. Гамма, например, наверняка так не думает. Мы не будем обсуждать односторонние многогранники (Мебиус, 1865) или n-мерные многогранники (Шлефли, 1852). Они подтвердили бы ожидание Гаммы, что совершенно неожиданные опровержения, расширяющие понятия, всегда могут дать целой теории новый — возможно, революционный — толчок.
[166] Полья указывает, что узкое, дешевое обобщение «в настоящее время гораздо более в моде, чем было раньше. Маленькую идею оно разводит большой терминологией. Автор обычно предпочитает даже эту маленькую идею заимствовать от кого-нибудь другого, воздерживается от добавления каких-нибудь оригинальных наблюдений и избегает решения какой-нибудь задачи, кроме небольшого числа задач, появляющихся от затруднений в его собственной терминологии. Было бы очень легко привести примеры, но я не хочу из людей делать противников» (1954, т. I, стр. 30). Другой из самых выдающихся математиков нашего века Нейман также предупреждал против «опасности вырождения», но думал, что это не будет так уж плохо, «если дисциплина будет под влиянием людей с исключительно хорошо развитым вкусом» (1947, стр. 196). Но все-таки сомневаешься, будет ли «влияние людей с исключительно хорошо развитым вкусом» достаточно для спасения математики в нашем веке: «публикуй или погибай».
[167] См. реплику Альфы.
[168] См. ответ на реплику Альфы.
[169] В действительности Альфа не употреблял явно этот термин Поппера.
