АСПСП

Цитата момента



Браком по любви мы называем брак, в котором состоятельный мужчина женится на красивой и богатой девушке.
Горько?

Синтон - тренинг центрАссоциация профессионалов развития личности
Университет практической психологии

Книга момента



Смысл жизни в детях?! Ну что вы! Смысл вашей жизни только в вас, в вашей жизни, в ваших глазах, плечах, речах и делах. Во всем. Что вам уже дано. Смысл вашей жизни – в улыбке вашего мужчины, вашего ребенка, вашей матери, ваших друзей… Смысл жизни не в ребенке – в улыбке ребенка. У вас есть мужество - выращивать улыбку? Вы не боитесь?

Страничка Леонида Жарова и Светланы Ермаковой. «Главные главы из наших книг»

Читать далее >>


Фото момента



http://old.nkozlov.ru/library/fotogalereya/france/
Париж

в) Метод доказательств и опровержений

Гамма. Я предлагаю принять цилиндр в качестве настоящего контрапримера для рассматриваемой теоремы. Я изобретаю новую лемму (или леммы), которая этим примером опровергается, и добавляю эту лемму (леммы) к первоначальному списку. Это как раз и делал Альфа. Но, вместо того чтобы «скрывать» их так, чтобы они сделались скрытыми, я возвещаю их публично.

Теперь цилиндр, ставивший ранее в тупик,— опасный глобальный, а не локальный контрапример (третьего типа) по отношению к старому анализу доказательства и соответствующей старой теореме, этот цилиндр станет безопасным глобальным и одновременно локальным контрапримером (второго типа) по отношению к новому анализу доказательства и соответствующей новой теореме.

Альфа думал, что его классификация контрапримеров была абсолютной; в действительности же она относилась только к его анализу доказательства. По мере роста анализа доказательства контрапримеры третьего типа превращаются в контрапримеры второго типа.

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства будет «строгим», или «имеющим силу», и соответствующая математическая теорема — истинной тогда и только тогда, если не будет для них контрапримеров третьего типа. Я называю этот критерий принципом обратной передачи ложности, так как он требует, чтобы глобальные контрапримеры были также локальными: ложность должна быть передана обратно от интуитивной догадки к леммам, от последующей части теоремы к предшествующей. Если какой-нибудь глобальный, но не локальный контрапример нарушает этот принцип, мы восстанавливаем его добавлением к анализу доказательства подходящей леммы. Таким образом, принцип обратной передачи ложности является регулятивным принципом для анализа доказательства in statu nascendi (в сстоянии зарождения), а глобальный, но не локальный контрапример — ферментом в росте анализа доказательства.

Гамма. Вспомните, раньше, даже не найдя ни одного опровержения, мы все же сумели обнаружить три подозрительные леммы и продвинуться в анализе доказательства!

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства может начинаться не только под давлением глобальных контрапримеров, но также и когда люди уже выучились остерегаться «убедительных» доказательств[74].

В первом случае все глобальные контрапримеры появляются в виде контрапримеров третьего типа и все леммы начинают свою карьеру в качестве «скрытых лемм». Они приводят нас к постепенному построению анализа доказательства и так один за другим превращаются в контрапримеры второго типа.

Во втором случае — когда мы уже начинаем подозревать и ищем опровержений,— мы можем прийти к далеко зашедшему вперед анализу доказательства без всяких контрапримеров. Тогда мы имеем две возможности. Первая возможность состоит в том, что нам при помощи локальных контрапримеров удастся опровергнуть все леммы, содержащиеся в нашем анализе доказательства. Мы можем установить, как следует, что они будут также глобальными контрапримерами.

Альфа. Вот именно так я и открыл раму картины: я искал многогранник, который после удаления одной грани не мог быть развернут в один лист на плоскости.

Сигма. Тогда не только опровержения действуют как ферменты для анализа доказательства, но и анализ доказательства может действовать как фермент для опровержения. Какой нехороший союз между кажущимися врагами!

Ламбда. Это верно. Если догадка кажется вполне допустимой или даже самоочевидной, то должно доказать ее; может оказаться, что она основана на весьма софистических и сомнительных леммах. Опровержение лемм может привести к какому-нибудь неожиданному опровержению первоначальной догадки.

Сигма. К опровержениям, порожденным доказательством!

Гамма. Тогда «мощь логического доказательства заключается не в том, что оно принуждает верить, а в том, что оно наводит на сомнения»[75].

Ламбда. Но позвольте мне вернуться ко второй возможности: когда мы не находим никаких локальных контрапримеров для подозреваемых лемм.

Сигма. То есть когда опровержения не помогают анализу доказательства. Что же тогда может случиться?

Ламбда. Мы тогда окажемся общепризнанными чудаками. Доказательство приобретает абсолютную респектабельность и леммы сбросят всякое подозрение. Наш анализ доказательства скоро будет забыт[76]. Без опровержений нельзя поддерживать подозрение; прожектор подозрения скоро выключается, если контрапример не усиливает его, направляя яркий свет опровержения на пренебреженный аспект доказательства, который остался незамеченным в сумерках «тривиальной истины».

Все это показывает, что мы не можем поместить доказательство и опровержение на отдельные полочки. Вот почему я предлагаю наш «метод включения лемм» перекрестить в «метод доказательств и опровержений». Позвольте мне выразить его основные черты в трех эвристических правилах.

Правило 1. Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать ее и опровергнуть ее. Тщательно рассмотрите доказательство, чтобы приготовить список нетривиальных лемм (анализ доказательства); найдите контрапримеры и для догадки (глобальные контрапримеры) и для подозрительных лемм (локальные контрапримеры).

Правило 2. Если у вас есть глобальный контрапример, то устраните вашу догадку, добавьте к вашему анализу доказательства подходящую лемму, которая будет опровергнута им, и замените устраненную догадку исправленной, которая включила бы эту лемму как условие[77]. Не позволяйте отбрасывать опровержения как монстры[78]. Сделайте явными все «скрытые леммы»[79].

Правило 3. Если у вас есть локальный контрапример, то проверьте его, не будет ли он также глобальным контрапримером. Если он будет им, то вы можете легко применить правило 2.

г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства

Альфа. Что в вашем Правиле 2 вы подразумевали под термином «подходящая»?

Гамма. Это совершенно безразлично. Может быть добавлена любая лемма, которая отвергается рассматриваемым контрапримером: любая такая лемма восстановит силу анализа доказательства.

Ламбда. Что такое! Значит, лемма вроде— «Все многогранники имеют но крайней мере 17 ребер» — будет иметь отношение к цилиндру! И всякая другая случайная догадка ad hoc будет вполне пригодной, если только ее можно будет отвергнуть при помощи контрапримера.

Гамма. А почему нет?

Ламбда. Мы уже критиковали устранителей монстров и исключений за то, что они забывают о доказательствах[80]. А теперь вы делаете то же самое, изобретая настоящий монстр: анализ доказательства без доказательства! Единственная разница между вами и устранителем монстров состоит в том, что вы хотели бы заставить Дельту сделать явными свои произвольные определения и включить их в теорему в качестве лемм. И нет никакой разницы между устранением исключений и вашим анализированием доказательства. Единственным предохранителем против таких методов ad hoc будет употребление подходящих лемм, т. е. лемм, соответствующих духу мысленного эксперимента! Или вы хотите изгнать из математики доказательства и заменить их глупой формальной игрой?

Гамма. Лучше это, чем ваш «дух мысленного эксперимента»! Я защищаю объективность математики против вашего психологизма.

Альфа. Благодарю вас, Ламбда, вы снова поставили мой вопрос: новую лемму не изобретают с потолка, чтобы справиться с глобальным, но не локальным контрапримером; скорее, с усиленной тщательностью рассматривают доказательство и в нем открывают эту лемму. Поэтому я, дорогой Тета, не делал скрытых лемм и я, дорогой Каппа, не проводил их «контрабандой» в доказательство. Доказательство содержит все такие леммы, но зрелый математик понимает все доказательство уже по короткому очерку. Мы не должны смешивать непогрешимое доказательство с неточным анализом доказательства. Все еще существует неопровержимая главная теорема — «Все многогранники, над которыми можно выполнить мысленный эксперимент, или, короче, все многогранники Коши будут эйлеровыми». Мой приблизительный анализ доказательства провел пограничную линию для класса многогранников Коши карандашом, который — я допускаю — не был особенно острым. Теперь эксцентрические контрапримерьт учат нас острить наш карандаш. Но, во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание карандаша не является творческой математикой.

Гамма. Я сбился с толку. Какова же ваша позиция? Сначала вы были чемпионом по опровержениям.

Альфа. Ох, мне все больнее! Зрелая интуиция сметает в сторону споры.

Гамма. Ваша первая зрелая интуиция привела вас к «совершенному анализу доказательства». Вы думали, что ваш «карандаш» был абсолютно острым.

Альфа. Я забыл о трудностях лингвистических связей — особенно с педантами и скептиками. Но сердцем математики является мысленный эксперимент — доказательство. Его лингвистическая артикуляция — анализ доказательства — необходима для сообщения, но не относится к делу. Я заинтересован в многогранниках, а вы в языке. Разве вы не видите бедности ваших контрапримеров? Они лингвистичны, но не многогранны.

Гамма. Тогда опровержение теоремы только выдает нашу неспособность понять ее скрытые леммы? Такая «теорема» будет бессмысленна, пока мы не поймем ее доказательства?

Альфа. Так как расплывчатость языка делает недостижимой строгость анализа доказательства и превращает образование теорем в бесконечный процесс, то зачем же беспокоиться о теореме? Работающие математики этого, конечно, не делают. Если будет приведен еще какой-нибудь незначительный контрапример, то они не допустят, чтобы их теорема была отвергнута, но самое большее, что «область ее применимости должна быть подходящим образом сужена».

Ламбда. Итак, вы не заинтересованы ни в контрапримерах, ни в анализе доказательства, ни во включении лемм?

Альфа. Это правда. Я отбрасываю все ваши правила. Вместо них я предлагаю только одно единственное: стройте строгие (кристально ясные) доказательства.

Ламбда. Вы придерживаетесь мнения, что строгость анализа доказательства недостижима. А достижима ли строгость доказательства? Разве «кристально ясные» мысленные эксперименты не могут привести к парадоксальным или даже противоречивым результатам?

Альфа. Язык расплывчат, но мысль может достичь абсолютной строгости.

Ламбда. Но ведь ясно, что «на каждой стадии эволюции наши отцы думали, что они достигли ее. Если они обманывали себя, то разве и мы также не плутуем сами с собой?»[81]

Альфа. «Сегодня достигнута абсолютная строгость»[82](Смех в аудитории)[83].

Гамма. Эта теория «кристально ясного» доказательства представляет чистый психологизм[84].

Альфа. Все же лучше, чем логико-лингвистический педантизм вашего анализа доказательства[85].

Ламбда. Отбросив бранные слова, я тоже являюсь скептиком в отношении вашего понимания математики как «существенно безъязычной деятельности ума»[86]. Каким образом деятельность может быть истинной или ложной? Только членораздельная мысль может питать истину. Доказательство может быть недостаточным: нам также надо установить, что доказывает доказательство. Доказательство представляет только одну стадию работы математика, за которой следует анализ доказательства и опровержения и которая заключается строгой теоремой. Мы должны комбинировать «строгость доказательства» со «строгостью анализа доказательства».

Альфа. Вы все еще надеетесь, что в конце дойдете до совершенно строгого анализа доказательства? Если так, то скажите мне, почему вы, «стимулированные» цилиндром, не начали с формулировки вашей новой теоремы? Вы только указали ее. Ее длина и сложность заставили бы нас смеяться от отчаяния. И это только после первого из ваших новых контрапримеров! Вы заменили нашу первоначальную теорему последовательностью все более точных теорем,— но только в теории. А как относительно практики этой релятивизации? Все более и более эксцентрические контрапримеры будут учитываться все более тривиальными леммами, давая «порочную бесконечность»[87] все более длинных и сложных теорем[88]. Если мы чувствовали животворность критики, когда она казалась приводящей к истине, то теперь, когда она вообще разрушает всякую истину и гонит нас бесконечно и бесцельно, она, конечно, будет разочаровывающей. Я останавливаю эту порочную бесконечность в мысли, но в языке вы никогда не остановите ее.

Гамма. Но я никогда не говорил, что здесь необходимо бесконечное множество контрапримеров. В некотором пункте мы можем дойти до истины и тогда поток опровержений прекратится. Но, конечно, мы не будем знать, когда это будет. Решающими являются только опровержения — доказательства же относятся к области психологии[89].

Ламбда. Я все-таки верю, что свет абсолютной достоверности вспыхнет, когда взорвутся опровержения!

Каппа. А взорвутся ли они? А что если Бог так создал многогранники, что все правильные общие их определения, формулированные человеческим языком, будут бесконечно длинными? Разве не будет богохульным антропоморфизмом предполагать, что (божеские) верные теоремы обладают конечной длиной?

Будьте откровенны; по той или другой причине нам всем надоели опровержения и складывание теорем по кусочкам. Почему бы нам не сказать «шабаш» и прекратить игру? Вы уже отказались от «Quod erat demonstrandum». Почему бы не отказаться также и от «Quod erat demonstratum*»? Ведь истина только для Бога.

Тета (в сторону). Религиозный скептик — худший враг науки!

Сигма. Не будем чрезмерно драматизировать! В конце концов дело идет лишь об узкой полутени неясности. Просто, как я сказал раньше, не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими».

Тета (в сторону). Трехзначная логика — конец критического рационализма!

Сигма… и мы область их применимости определяем с более или менее адекватной строгостью.

Альфа. Адекватной чему?

Сигма. Адекватной решению задачи, которую мы хотим решить.

Тета (в сторону). Прагматизм! Разве уж все потеряли интерес к истине?

Каппа. Или адекватной Zeitgeist (Духу времени - Пер.)! «Довлеет дневи строгость его»[90] 83.

Тета. Историзм! (Падает в обморок.)

Альфа. Правила Ламбды для «строгого анализа доказательства» лишают математику ее красоты, дарят нам дотошный педантизм длинных, сложных теорем, наполняющих скучные толстые книги, и могут даже при случае посадить нас в порочную бесконечность. Каппа ищет выхода в условности, Сигма в математическом прагматизме. Какой выбор для рационалиста!

Гамма. Должен ли такой рационалист насладиться «строгими доказательствами» Альфы, его нечленораздельной интуицией, «скрытыми леммами», осмеянием принципа обратной передачи ложности и исключением опровержений? Должна ли математика не иметь никаких отношений с критицизмом и логикой?

Бета. Во всяком случае я устал от всей этой, не приводящей к решению, словесной грызни. Я хочу заниматься математикой и я не заинтересован философскими трудностями оправдания ее оснований. Даже если рассудок не в состоянии дать такое оправдание, то меня успокаивает мой природный инстинкт[91].

Я чувствую, что у Омеги есть интересная коллекция возможных доказательств — я лучше бы послушал их.

Омега. Но я помещу их в «философскую» оболочку!

Бета. Мне нет дела до упаковки, если внутри имеется что-нибудь.



Страница сформирована за 0.62 сек
SQL запросов: 170