б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
Омега. Вы критиковали анализы доказательства за крушение обратной передачи ложности при помощи контрапримеров третьего типа. Теперь я критикую их за крушение передачи ложности (или, что то же самое, обратной передачи истины) при помощи контрапримеров второго типа. Доказательство должно объяснить явление эйлеровостн в полном его объеме.
Мои поиски имеют целью не только верность, но также и окончательность. Теорема должна быть верной — не должно быть никаких контрапримеров внутри ее области; но она также должна быть окончательной; не должно быть никаких контрапримеров вне ее области. Я хочу провести граничную линию между примерами и контрапримерами, а совсем не между, с одной стороны, безопасной областью с небольшим числом примеров, а, с другой стороны, с мешком, содержащим смесь примеров и контрапримеров.
Ламбда. Итак, вы хотите, чтобы условия теоремы были не только достаточными, но также и необходимыми!
Каппа. Вообразим в целях доказательства, что вы нашли такую магистральную теорему. «Все магистральные многогранники будут эйлеровыми». Понимаете ли вы, что эта теорема будет «окончательной» только в том случае, если будет верной обратная теорема: «Все эйлеровы многогранники будут магистральными многогранниками»?
Омега. Конечно.
Каппа. Значит ли это, что если в порочной бесконечности потеряется верность, то будет потеряна также и окончательность? Вы должны находить по крайней мере по одному эйлерову многограннику вне области каждого из ваших все более глубоких доказательств.
Омега. Конечно, я знаю, что не могу решить проблему окончательности, не решив проблемы верности. Я уверен, что мы решим обе. Мы остановим бесконечный поток контрапримеров как первого, так и третьего типа.
Учитель. Ваши поиски увеличивающегося содержания очень важны. Но почему не признать ваш второй критерий удовлетворительности — окончательность — лишь желательным, но не обязательным? Почему отвергать интересные доказательства, не содержащие сразу достаточных и необходимых условий? Почему рассматривать их как опровергнутые?
Омега. Ну…[108]
Ламбда. Во всяком случае Омега вполне убедил меня, что единственное доказательство может быть недостаточным для критического улучшения наивной догадки. Наш метод должен заключать радикальную формулировку Правила 4, и тогда он должен быть назван методом «доказательств и опровержений» вместо «доказательства и опровержений».
Мю. Извините мое вмешательство. Результаты вашей дискуссии я как раз перевел в квазитопологические термины. Метод включения лемм дал сужающуюся последовательность найденных областей постепенно исправляемых теорем: в процессе появления скрытых лемм эти области сокращались под непрерывной атакой глобальных контрапримеров и стремились к некоторому пределу; назовем этот предел «областью анализа доказательств». Если мы применяем более слабую формулировку Правила 4, то эта область может быть расширена под продолжающимся давлением локальных контрапримеров. Эта расширяющаяся последовательность будет тоже иметь предел; я назову его «областью доказательства». Дискуссия показала, что даже и эта область может быть очень узкой (возможно, даже пустой). Нам придется придумывать более глубокие доказательства, области которых составят расширяющуюся последовательность, включающую все более и более упорствующие эйлеровы многогранники, бывшие локальными контрапримерами для предшествующих доказательств. Эти области, являющиеся и сами предельными областями, будут сходиться к двойному пределу— «области наивной догадки», — которая является целью исследования.
Топология этого эвристического пространства является проблемой математической философии: если последовательности бесконечны, то будут ли они вообще сходиться, стремиться к пределу, может ли предел быть пустым множеством?
Эпсилон. Я нашел более глубокое доказательство, чем у Коши, которое объясняет также эйлеровость «большого звездчатого додекаэдра»! (Передает записку Учителю.)
Омега. Окончательное доказательство! Теперь будет раскрыта истинная сущность эйлеровсти!
Учитель. Я очень жалею, но время истекает: мы обсудим крайне утонченное доказательство Эпсилона как-нибудь в другое время[109]. Все, что я вижу, сводится к тому, что оно не будет окончательным в смысле Омеги. Не правда ли, Бета?
в) Различные доказательства дают различные теоремы
Бета. Наиболее интересная вещь, которую я уяснил из этой дискуссии, заключается в том, что различные доказательства той же самой наивной догадки приводят к различным теоремам. Единственная догадка Декарта — Эйлера исправляется каждым доказательством в отдельную теорему. Наше первоначальное доказательство дало: «Все многогранники Коши суть эйлеровы». Теперь мы узнали кое-что о двух совершенно различных теоремах: «Все многогранники Жергонна суть эйлеровы» и «Все многогранники Лежандра суть эйлеровы». Три доказательства и три теоремы с одним общим предком[110]. Обычное выражение «различные доказательства теоремы Эйлера» будет тогда не совсем правильным, так как оно скрывает жизненную роль доказательства в образовании теорем[111] .
Пи. Разница между различными доказательствами лежит гораздо глубже. Только наивная догадка относится к многогранникам. Теоремы касаются соответственно объектов Коши, жергонновых и лежандровых, - но никоим образом не многогранников.
Бета. Вы пытаетесь шутить?
Пи. Нет, я объясню мою точку зрения. Но я сделаю это в более широком контексте — я хочу обсудить вообще формирование понятий.
Дзета. Лучше бы сначала обсудить содержание. Я нахожу Правило 4 Омеги очень слабым — даже в его радикальной формулировке[112].
Учитель. Правильно. Давайте послушаем сначала о том, как Дзета подходит к проблеме содержания, а затем откроем наши дебаты дискуссией об образовании понятий.
7. Проблема пересмотра содержания
а) «Наивность» наивной догадки
Дзета. Я согласен с Омегой и также оплакиваю факт, что устранители монстров, исключений и инкорпораторы лемм все стремятся к некоторой истине за счет содержания. Но его Правило 4 [113], требующее более глубоких доказательств той же самой наивной догадки, не будет достаточным. Почему наши поиски содержания должны быть ограничены первой наивной догадкой, на которую мы напали? Почему целью нашего исследования должна быть «область наивной догадки»?
Омега. Я не понимаю вас. Конечно, нашей задачей было найти область истинности отношения V—E+F=2?
Дзета. Нет! Нашей задачей было найти связь V, Е и F для любого многогранника. Ведь только по чистой случайности мы сначала познакомились с многогранниками, для которых F—E+F=2. Но критическое исследование этих «эйлеровых» многогранников показало нам, что неэйлеровых многогранников существует гораздо больше, чем эйлеровых. Почему же нам не обратить внимания на область истинности V—E+F= -6, V—E+F=28 или V—E+F=0? Разве они не так же интересны?
Сигма. Вы правы. Мы обратили так много внимания на V—E+F=2 только по той причине, что первоначально считали это истинным. Теперь же мы знаем, что это не так,— нам нужно найти новую, более глубокую наивную догадку…
Дзета …, которая будет менее наивной…
Сигма …, которая даст соотношение между V, Е и F для любого многогранника.
Омега. Зачем спешить? Решим сначала более скромную задачу, которую мы поставили перед собой: объяснить, почему некоторые многогранники являются эйлеровыми. До сих пор мы пришли только к частичным объяснениям. Например, ни одно из найденных доказательств не объяснило, почему картинная рама с кольцеобразными гранями спереди и сзади будет эйлеровой (рис. 16). Она имеет 16 вершин, 24 ребра и 10 граней…
Тета. Она, конечно, не будет многогранником Коши: у нее есть туннель, кольцеобразные грани…
Бета. И все-таки она эйлерова! Как неразумно! Если многогранник провинился один раз — туннель без кольцеобразных граней (рис. 9), — то его отбрасывают к козлищам, а тот, который сделал вдвое больше преступлений — имеет кольцеобразные грани (рис. 16), — допущен к овцам[114].
Омега. Вы видите, Дзета, у нас достаточно загадок и для эйлеровых многогранников. Решим же их, прежде чем заняться более общей задачей.
Дзета. Нет, Омега. «На много вопросов иногда бывает легче ответить, чем только на один. Новая более претенциозная проблема может оказаться более легкой, чем первоначальная»[115] 108. В самом деле, я покажу, что ваша узкая случайная задача может быть решена только после решения более широкой, существенной.
Омега. Но я хочу раскрыть секрет эйлеровости!
Дзета. Я понимаю ваше упорство: вы поставили задачу определить, где Бог поместил твердь, отделяющую эйлеровы многогранники от неэйлеровых. Но нет основания думать, что слово «эйлеров» вообще встречалось у Бога в плане вселенной. А что если эйлеровость только случайное свойство некоторых многогранников? В этом случае будет неинтересно, или даже невозможно, найти случайные зигзаги в демаркационной линии между эйлеровыми и неэйлеровыми многогранниками. Тем более это допущение оставит незапятнанным рационализм, потому что эйлеровость не будет тогда частью рационального плана вселенной. Поэтому забудем об этом. Один из основных пунктов критического рационализма заключается в том, что надо быть всегда готовым во время решения оставить свою первоначальную задачу и заменить ее другой.
