УПП

Цитата момента



Хорошо зафиксированный больной в анестезии не нуждается.
И всем            спокойно.

Синтон - тренинг центрАссоциация профессионалов развития личности
Университет практической психологии

Книга момента



Мои прежние мысли были похожи на мысли макаки, которая сидит в клетке и говорит:
— Если они там за решеткой такие умные, как ты говоришь, почему я этого не знаю? Почему они не демонстрируют? Почему нам не объясняют? Почему нам не помогают, то есть не дают целую гору бананов?

Мирзакарим Норбеков. «Где зимует кузькина мать, или как достать халявный миллион решений»

Читать далее >>


Фото момента



http://old.nkozlov.ru/library/fotogalereya/s374/
Мещера-2009

Числа

щелкните, и изображение увеличится

Парадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице

Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:

1) иррациональных чисел sqrt (2), pi, e и бесчисленного множества других;

2) мнимых чисел (числа sqrt (-1) и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;

3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: a*b != b*a;

4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения: a*(b*c) != (a*b)*c;

5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, "алефы", введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, "открыл перед математиками новый рай").

Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, "Вездесущая девятка" подводит нас к конечным арифметикам, а "Необычное завещание" - к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай - область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.

Загадка шести стульев

щелкните, и изображение увеличится

Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке. В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету.

щелкните, и изображение увеличится

Владелица дискотеки. Ну вот, наконец-то гости пришли! Я накрыла для них столик на шесть персон, но, должно быть, ошиблась: их не шесть, а семь!

щелкните, и изображение увеличится

Владелица дискотеки. Впрочем, все отлично устроится! Первого гостя я посажу на первое место и попрошу его на минутку взять к себе на колени партнершу.

щелкните, и изображение увеличится
Владелица дискотеки. Третьего гостя я посажу рядом с двумя первыми, четвертого - рядом с третьим. Пятый сядет против того, кто держит партнершу на коленях, шестой - рядом с пятым. Получилось неплохо: я рассадила шестерых и одно место за столом осталось свободным!

щелкните, и изображение увеличится
Владелица дискотеки. Это место я попрошу занять партнершу, которая пока сидела на коленях у первого гостя. Разве не удивительно? Семь гостей владелица дискотеки рассадила на шести стульях, по одному на каждом стуле!

Не сомневаюсь, что вы без труда обнаружите логическую ошибку в приведенном мною варианте старого парадокса о ловком хозяине гостиницы, сумевшем разместить десять гостей в девяти номерах так, что каждому из них досталось по отдельной комнате (см. мою статью "Математические софизмы" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с.125-132.]). Парадокс разрешается, если понять, что партнерша, которую владелица дискотеки попросила первого гостя подержать на коленях, в действительности гость номер 2 (а не 7). Седьмому гостю не нашлось места за столом, а второй гость или, точнее, гостья, сойдя с колен своего партнера, пересела на шестое место.

На первый взгляд, кажется, будто этот парадокс нарушает теорему о том, что конечное множество из n элементов может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие только с конечными множествами из n элементов. Мы еще вернемся к этой теореме в парадоксе „Отель "Бесконечность"". "Загадка шести стульев" - занимательный пример различия между конечными и бесконечными множествами.

Неуловимая прибыль

щелкните, и изображение увеличится

Деннис продал одну из своих картин Джорджу за 100 долларов.

щелкните, и изображение увеличится

Джордж повесил было картину у себя дома, но потом она перестала ему нравиться, и он продал ее Деннису за 80 долларов.

щелкните, и изображение увеличится
Через неделю Деннис продал картину Джерри за 90 долларов.

Деннис. Ты совершил удачную покупку, Джерри. Лет через десять эта картина будет стоить в 50 раз дороже, чем ты заплатил за нее!

щелкните, и изображение увеличится
Художник был доволен.

Деннис. Сначала я продал картину за 100 долларов. Эта сумма возместила затраченные мной время и материалы, поэтому я не остался в убытке, хотя и не получил прибыли. Затем я выкупил ее за 80 и продал за 90 долларов. Моя прибыль составила, таким образом, 10 долларов.

щелкните, и изображение увеличится
По расчетам Джорджа выходило иначе.

Джордж. Художник продал свою картину за 100 и приобрел снова за 80 долларов. Следовательно, его чистая прибыл составила 20 долларов. Вторую продажу можно не принимать во внимание, так как 90 долларов - примерно столько, сколько стоила картина на самом деле.

щелкните, и изображение увеличится
Джерри в своих расчетах как бы принимал во внимание соображения и Денниса, и Джорджа.

Джерри. Продав картину за 100 и приобретя ее снова за 80 долларов, художник получил 20. долларов чистой прибыли. Еще 10 долларов он заработал, купив картину за 80 и продав ее мне за 90 долларов. Следовательно, пол-пая прибыль художника составила 30 долларов.

Какова в действительности чистая прибыль от продажи картины: 10, 20 или 30 долларов?

Эта нехитрая, но несколько запутанная задача обычно вызывает оживленные споры. И лишь по прошествии некоторого времени начинаешь сознавать, что задача не вполне определена и поэтому всякий из приведенных ответов столь же хорош (или столь же плох), как и любой другой.

Определить, „какова в действительности чистая прибыть от продажи картины", невозможно, так как в условиях задачи ничего не говорится о "себестоимости" картины - о том, во что обошлось (в денежном выражении) ее создание художнику. Оставим в стороне время, затраченное художником на создание картины, и предположим, что Деннис уплатил за все материалы (подрамник, холст и краски) 20 долларов. После трех продаж он получил за картину 110 долларов. Если чистую прибыль определить как разность между суммой денег, вырученной от продажи картины, и стоимостью израсходованных материалов, то чистая прибыль составит 90 долларов.

Поскольку нам не известно, сколько художник уплатил за материалы (мы лишь предположили, что за подрамник, холст и краски он уплатил 20 долларов), вычислить прибыль невозможно. Эта задача лишь кажется арифметической; в действительности же здесь все упирается в вопрос, что понимать под реальной прибылью. Аналогичный парадокс возникает в связи со старым вопросом о том, раздается ли какой-нибудь звук при падении дерева в глухом лесу, если поблизости нет ушей, чтобы его слышать. Ответ на вопрос может быть и утвердительным, и отрицательным в зависимости от того, что понимать под словом "звук".

Два парадокса, которыми открывается глава 3 ("Геометрия"), могут служить новыми, не менее занимательными примерами проблем, возникающих в связи с различными толкованиями одного слова.

Демографический взрыв

щелкните, и изображение увеличится

Кому из нас не приходилось слышать о том, как быстро увеличивается численность населения земного шара?

щелкните, и изображение увеличится
Президент Лиги борцов против контроля за рождаемостью мистер Нинни не согласен с общим мнением. Он считает, что численность населения земного шара убывает и что вскоре у каждого будет больше пространства, чем нужно. Рассуждает мистер Нинни следующим образом.

щелкните, и изображение увеличится
М-р Нинни. У каждого из нас двое родителей. Но у каждого из родителей также по двое родителей, поэтому у нас по две бабушки и по два дедушки, по четыре прабабушки и по четыре прадедушки. С каждым поколением в глубь истории число предков у каждого из нас удваивается.

щелкните, и изображение увеличится
М-р Нинни. Если вы вернетесь вспять на 20 поколений в эпоху средневековья, то насчитаете 1048576 предков! И столько же предков у каждого из ныне живущих людей. Следовательно, численность населения земного шара была в миллион раз больше, чем теперь!

Мистер Нинни, несомненно, заблуждается. Но где ошибка в его рассуждениях?

Рассуждения Нинни правильны, если принять следующие два предположения:

1) на генеалогическом дереве каждого ныне живущего человека ни один предок не появляется более одного раза;

2) ни один человек в прошлом и настоящем не фигурирует более чем на одном генеалогическом дереве.

Ни одно из этих предположений не выполняется во всех, без исключения, случаях. Если у некой супружеской четы пятеро детей и у каждого из детей по пять детей, то наша супружеская чета будет прародителями (бабушкой и дедушкой) на 25 генеалогических деревьях, Кроме того, на любом дереве, если вернуться назад на достаточно большое число поколений, ветви будут пересекаться из-за браков между дальними родственниками.

В своих рассуждениях Нинни (и в этом состоит его ошибка) не учитывает ни того, что одни и те же люди могут фигурировать в различных генеалогических деревьях, ни того, что множества предков каждого из ныне живущих людей имеют массивное пересечение. "В демографическом взрыве", о котором толкует Нинни, миллионы людей сосчитаны миллионы раз!

Многие с удивлением узнают, как быстро возрастают члены последовательности, у которой каждый следующий член вдвое больше" предыдущего. Если один человек вздумает уплатить другому в первый день 1 доллар, во второй - 2 доллара, в третий - 4 доллара и т. д., то, как ни трудно в это поверить, на двадцатый день размер выплаты составит более миллиона долларов!

Можно ли быстро сосчитать сумму первых двадцати членов последовательности, в которой каждый следующий член вдвое больше предыдущего? Оказывается можно: для этого достаточно удвоить последний (двадцатый) член и вычесть из полученного результата единицу. В нашем случае 20-й член равен 1048576, а сумма первых 20 членов равна

(2*1048576) - 1 = 2097151.

Этот трюк применим к любой частичной сумме последовательностей, каждый член которой (начиная со второго) вдвое больше предыдущего. Существует весьма простое доказательство того, что это правило работает без "осечек". Предоставляем нашим читателям самостоятельно найти это доказательство.

Вездесущая девятка

щелкните, и изображение увеличится

У числа 9 немало загадочных свойств. Знаете ли вы, например, что оно незримо присутствует в дате рождения любой знаменитости?

щелкните, и изображение увеличится

Взять хотя бы Джорджа Вашингтона. Он родился 22 февраля 1732 г. Запишем дату его рождения как одно число: 2221732, переставим цифры в любом порядке и из большего числа вычтем меньшее.

щелкните, и изображение увеличится

Сложив все цифры разности, мы получим 36, а 3 плюс 6 равно 9!

щелкните, и изображение увеличится
Проделайте то же самое с датами рождения Джона Кеннеди (29 мая 1917 г.), Шарля де Голля (22 ноября 1890 г.) или любой другой знаменитости, и вы всегда получите 9. Существует ли некая таинственная связь между девяткой и датами рождения знаменитостей? Скрыта ли девятка в дате вашего рождения?

Сложим цифры любого числа, затем цифры получившейся суммы и будем продолжать эту операцию до тех пор, пока не получится однозначная сумма, которая называется цифровым корнем исходного числа. Цифровой корень числа равен остатку от деления его на 9, поэтому описанную выше процедуру иногда называют "вычеркиванием девяток". (Подробнее о цифровых корнях см. мою статью "Цифровые корни" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с.125-132.].)

Цифровой корень вычисляется особенно быстро, если вычеркивание девяток производить непосредственно в процессе сложения цифр. Например, ecли первые две цифры числа равны соответственно 6 и 8, то их сумма равна 14. Сумма цифр этой суммы равна 1+4=5, поэтому мы можем сразу же вычеркнуть, или отбросить, девятку и запомнить только 5. Иначе говоря, всякий раз, когда частичная сумма становится двузначной, следует заменять ее суммой цифр. Последняя однозначная сумма и будет цифровым корнем исходного числа. Математики сказали бы, что цифровой корень сравним с исходным числом по модулю 9. Так как остаток от деления числа 9 на 9 равен 0, то в арифметике вычетов (остатков) по модулю 9 числа 9 и 0 эквивалентны.

До появления вычислительных машин арифметику вычетов по модулю 9 часто использовали для проверки сложения, вычитания, умножения и деления больших чисел. Пусть, например, мы вычитаем из числа A число B и находим разность B. Наши вычисления можно проверить: взять цифровой корень числа A, вычесть из него цифровой корень числа и и сравнить полученный результат с цифровым корнем разности B. Если вычисления произведены правильно, разность цифровых корней должна совпадать с цифровым корнем разности. Совпадение цифровых корней еще не говорит о правильности результата, но зато, если цифровые корни не совпадают, мы можем с уверенностью утверждать, что где-то в вычислениях допущена ошибка. Совпадение же цифровых корней лишь придает большую правдоподобность правильности вычислений. Аналогичным образом проверяются с помощью цифровых корней результаты выполнения сложения, умножения и деления.

Теперь уже нетрудно понять, на чем основан трюк с датами рождений. Пусть N - некоторое многозначное число. Переставив его цифры, мы получим новое число N'. Ясно, что N и N' имеют одинаковые цифровые корни. Следовательно, если мы вычтем один цифровой корень из другого, то разность будет равна 0, или 9, что то же в арифметике вычетов по модулю 9. Итак, число 0, или 9, - цифровой корень разности чисел N и N'. Следовательно, какое число мы бы ни взяли, переставив цифры и вычтя из большего числа меньшее, мы всегда получим разность с цифровым корнем, равным 0 (или 9).

Из способа вычисления цифровых корней видно, что окончательный результат, равный 0, получится только в том случае, когда числа N и N' совпадают. Следовательно, демонстрируя трюк с вездесущей девяткой в датах рождения, необходимо следить за тем, чтобы при перестановках цифр возникали различные числа. Если числа N и N' не совпадают, то цифровой корень их разности равен 9.

Многие фокусы построены на вездесущей девятке. Например, попросите кого-нибудь из ваших друзей записать в тайне от вас (чтобы не видеть, вы можете повернуться спиной) номер денежной купюры, затем как угодно переставить цифры, вычесть из большего числа меньшее и, вычеркнув в полученной разности любую отличную от нуля цифру, назвать вразбивку в произвольном порядке остальные цифры. Даже не взглянув на полученный результат, вы без труда назовете зачеркнутую цифру!

Секрет фокуса очевиден. Разность имеет цифровой корень, равный 9. Когда ваш приятель называет одну за другой цифры, вы складываете их в уме, беря каждый раз лишь вычеты (остатки) по модулю 9. После того как будет названа последняя цифра, вы вычитаете полученный вами результат из 9 и узнаете, какая цифра была зачеркнута. (Если полученный вами результат равен 9, то была зачеркнута цифра 9.)

И трюк с датой рождения, и фокус с номером денежной купюры служат великолепным введением в арифметику вычетов, или, что то же, теорию сравнений.

Разъяренный водитель

щелкните, и изображение увеличится

В этом автобусе 40 юношей. Скоро они отправятся в спортивный лагерь "Окифиноки".

щелкните, и изображение увеличится

В этом автобусе 40 девушек. Они едут в тот же лагерь.

щелкните, и изображение увеличится

Перед тем как отправиться в рейс, водители автобусов зашли выпить по чашечке кофе.

щелкните, и изображение увеличится

Тем временем 10 юношей вышли из своего автобуса и пересели в автобус к девушкам.

щелкните, и изображение увеличится

Водитель автобуса, в котором ехали девушки, вернувшись, заметил, что пассажиров стало слишком много.

щелкните, и изображение увеличится

Водитель
. Хватит валять дурака! В этом автобусе 40 мест, поэтому десяти из вас придется выйти. И, пожалуйста, поживее!

щелкните, и изображение увеличится
Десять пассажиров (юношей и девушек) вышли из автобуса и расположились на свободных местах того автобуса, в котором ехали юноши. Вскоре оба автобуса отправились в рейс. В каждом автобусе было по 40 пассажиров.

щелкните, и изображение увеличится
По дороге водитель того автобуса, в котором сначала были только девушки, принялся размышлять.

Водитель. …В моем автобусе осталось несколько ребят, а в другой автобус пересело несколько девушек. Интересно, кого больше: ребят в моем автобусе или девушек в другом автобусе?

щелкните, и изображение увеличится
Трудно поверить, но независимо от того, сколько парней и девушек было среди тех десяти пассажиров, которым пришлось пересесть в другой автобус, девушек в автобусе для юношей столько же, сколько юношей в автобусе для девушек.

щелкните, и изображение увеличится
Почему? Предположим, что в автобусе для девушек осталось 4 юноши. Тогда их места в автобусе для юношей должны занять 4 девушки. То же рассуждение применимо и к любому другому числу юношей, оставшихся в другом автобусе.

Парадоксальную на первый взгляд ситуацию с числом посторонних, проникших "не в тот автобус", легко продемонстрировать с помощью колоды игральных карт. Разделите колоду на 2 равные стопки. В одну стопку отложите 26 черных карт (трефовой и пиковой масти), в другую - 26 красных карт (бубновой и червовой масти). Сняв часть любой из двух стопок (например, 13 красных карт), переложите ее на черную стопку и тщательно перетасуйте 39 карт в образовавшейся "толстой" стопке. Затем, отсчитав из нее наугад 23 карты, верните их в красную стопку и тщательно перетасуйте образовавшуюся половину колоды.

Разложив каждую из стопок вверх лицом - вниз рубашкой, вы обнаружите, что число черных карт в красной стопке совпадает с числом красных карт в черной стопке. Доказывается это удивительное совпадение так же, как совпадение числа юношей в автобусе для девушек с числом девушек в автобусе для юношей.

На том же принципе основаны и многие другие карточные фокусы. Приведем один из них, принцип которого человеку непосвященному отгадать не так-то просто. Разделите колоду карт пополам и сложите снова так, чтобы ровно половина карт была обращена вверх лицом и ровно половина - вверх рубашкой. Перетасовав карты, покажите подготовленную таким образом колоду зрителям, не говоря им о том, что ровно 26 карт обращено вверх лицом. Попросите кого-нибудь из них, тщательно перетасовав карты, отсчитать вам 26 из них-

Затем, обращаясь к зрителям, вы произносите:

 - Странно, но в моей половине колоды вверх лицом обращено столько же карт, сколько в той половине, которая находится в руках у вас!

После этого вы просите вашего ассистента из зрителей разложить те карты, которые он держит, на столе. Пока он раскладывает карты, вы, перед тем как раскладывать карты, сами незаметно переворачиваете свою половину колоды. Как показывает подсчет, карт, лежащих вверх лицом, в обоих половинах колоды оказывается поровну!

Этот фокус основан на том же принципе, что и парадокс с автобусами. Если бы незаметно для зрителя вы не перевернули свою половину колоды, то число карт, лежащих лицом вверх, в другой ее половине было бы равно числу карт, лежащих вверх рубашкой в вашей половине колоды. Когда вы переворачиваете свою половину колоды, те карты, которые лежали вниз лицом, обращаются лицом вверх и оказываются во взаимно-однозначном соответствии с картами, лежащими лицом вверх в другой половине колоды.

В этой связи нельзя не вспомнить одну довольно старую головоломку. Стакан воды стоит рядом со стаканом вина. Жидкости в каждый стакан налито поровну. Возьмем каплю вина и, добавив в стакан с водой, тщательно перемешаем. Затем каплю смеси такого же размера, как и капля вина, перенесем в стакан с вином. Чего теперь больше: воды в стакане с вином или вина в стакане с водой?

Жидкости в двух стаканах после обмена каплями осталось поровну. Впрочем, ответ не изменился бы, если бы воды было больше (или меньше), чем вина, а также если бы после добавления первой капли смесь не была бы тщательно перемешана. Кроме того, могли бы переносить из стакана в стакан капли не обязательно одинакового размера. Единственное условие, которое должно соблюдаться неукоснительно: после всех переливаний жидкости в каждом стакане должно быть ровно столько, сколько было в самом начале. Тогда убыль вина может быть восполнена только равным количеством воды, а убыль воды - равным количеством вина! Следовательно, после всех переливаний воды в стакане с вином окажется столько же, сколько вина в стакане с водой. Доказывается это так же, как мы доказывали, что юношей в автобусе для девушек столько же, сколько девушек в автобусе для юношей или что красных карт в черной стопке столько же, сколько черных карт в красной стопке.

Головоломка с водой в вине и вином в воде - замечательный пример задачи, поддающейся решению путем громоздких вычислений, но при надлежащем подходе легко решаемой с помощью простых логических соображений.

Недостача

щелкните, и изображение увеличится
В магазине грампластинок 30 старых пластинок продавались по 1 доллару за 2 пластинки, а 30 других пластинок - по 1 доллару за 3 пластинки. К концу дня все 60 пластинок были распроданы.

щелкните, и изображение увеличится

30 пластинок по 1 доллару за 2 пластинки проданы за 15 долларов, 30 пластинок по 1 доллару за 3 пластинки проданы за 10 долларов. Итого - 25 долларов.

щелкните, и изображение увеличится
На следующий день управляющий магазином выставил на продажу еще 60 пластинок.

Продавец. Зачем доставлять себе лишние заботы и сортировать пластинки? Ведь если 30 пластинок идут по цене 1 доллар за 2 пластинки и 30 пластинок - по цене 1 доллар за 3 пластинки, то почему бы не продавать все 60 пластинок по цене 2 доллара за 5 пластинок? Ведь это то же самое!

щелкните, и изображение увеличится
К закрытию магазина все 60 пластинок были распроданы по 1 доллару за 5 пластинок. Подсчитывая дневную выручку, управляющий магазином с удивлением обнаружил, что она составляет не 25 долларов, а всего лишь 24 доллара.

щелкните, и изображение увеличится
Как вы думаете, куда пропал недостающий доллар? Может быть, его похитил нечистый на руку продавец? А может быть, кому-нибудь дали сдачу на 1 доллар больше, чем следовало?

Отчего образовалась недостача? Виной всему нерадивый продавец, ошибочно решивший, будто выручка от продажи 60 пластинок по 2 доллара за 5 пластинок такая же, как от продажи 30 пластинок по 1 доллару за 2 пластинки и 30 пластинок по 1 доллару за 3 пластинки. Никаких оснований для подобного заключения у него не было. Разница в выручке в обоих случаях невелика - всего 1 доллар, поэтому и создается впечатление, будто недостающий доллар затерялся или его отдали по ошибке, неверно сосчитав сдачу, причитающуюся кому-то из покупателей.

Рассмотрим ту же задачу с несколько иными параметрами. Предположим, что 30 более дорогих пластинок поступило в продажу по 2 доллара за 3 пластинки, или по 2/3 доллара за 1 пластинку, а 30 менее дорогих пластинок продавались по 1 доллару за 2 пластинки, или по 1/2 доллара за пластинку. Что произойдет, если управляющий вздумает продать все 60 пластинок по 3 доллара за 5 пластинок? Если выручка от продажи двух партий по 30 пластинок составляла 35 долларов, то выручка от продажи одной партии из 60 пластинок составит 36 долларов. Вместо недостачи выручка возросла бы на 1 доллар!

В действиях продавца не было злого умысла, но, как показывает арифметика, он добросовестно заблуждался: число пластинок в наборе и цены нельзя усреднять так, как это предлагал делать он. Допущенную им ошибку можно проанализировать алгебраически, но, для того чтобы убедить вас в недопустимости подобного усреднения, достаточно одного наглядного примера.

Предположим, что у владельца салона по продаже автомашин имеется 6 "роллс-ройсов" и 6 "фольксвагенов". Он просит 100 000 долларов за 2 "роллс-ройса" и 50000 долларов за 6 "фольксвагенов". От продажи всех 12 машин владелец салона выручил бы 350 000 долларов. В среднем на 1 сделку приходятся 4 машины, а средняя выручка от 2 сделок составляет 75 000 долларов. Если бы владелец салона вздумал продавать все машины партиями по 4 машины за 75 000 долларов, то, распродав все 12 машин, он выручил бы только 225000 долларов. Кроме того, покупатель заведомо предпочел бы выложить 75 000 долларов за 4 "роллс-ройса", оставив владельцу 8 "фольксвагенов" с явно завышенной ценой. Вот, пожалуй, и все, что мы хотели бы сказать по поводу ошибки продавца грампластинок.



Страница сформирована за 0.73 сек
SQL запросов: 206