Время
Парадоксы о движении, сверхзадачах, путешествиях во времени и обращении, времени
От мельчайших субатомных частиц до гигантских галактик паша Вселенная находится в состоянии непрестанного изменения; ее чудесная мозаика каждую микросекунду трансформируется в неумолимом "потоке" времени. (Слово "поток" я взял в кавычки потому, что в действительности течет Вселенная. Утверждать, будто время течет, так же бессмысленно, как утверждать, что длина простирается.)
Трудно представить себе реальный мир без времени. Объект, существующий лишь в течение нулевого времени (0 секунд), не существовал бы вообще. Или существовал бы. Во всяком случае, течение Вселенной достаточно равномерно для того, чтобы мы могли производить измерения, а измерения порождают числа и уравнения. Можно считать, что время не входит в чистую математику, но в прикладной математике от элементарной алгебры до математического анализа и далеко за его пределами имеется немало проблем, в которые время входит как фундаментальная переменная.
В этой главе собрано множество известных парадоксов о времени и движении. Некоторые из них, например парадоксы Зенона, оживленно обсуждались еще древними греками. Другие парадоксы, такие, как "замедление" времени в теории относи-кости и так называемые "машины бесконечности", способны решать "сверхзадачи". Все они еще больше разохотят вас к парадоксам и к математике.
Упомянем лишь о некоторые связях, ведущих прямиком от собранных в этой главе парадоксов к серьезной математике и науке.
Парадокс с велосипедным колесом знакомит вас с циклоидой и служит великолепным введением в геометрию кривых, более сложных, чем конические сечения. История о разочаровании, постигшем лыжника, дает наглядное представление о мощи методов элементарной алгебры, позволяющей доказать неожиданный результат. Парадоксы Зенона о резиновом канате, сверхзадачах и собаке, бегающей от одного хозяина к другому, знакомят с понятием предела, весьма существенным для понимания дифференциального и интегрального исчисления и всей высшей математики. Решение этих парадоксов связано с теорией бесконечных множеств Георга Кантора, с которой мы уже встречались в главе 2. Задача о червяке, ползущем по резиновому канату, решается с помощью знаменитого так называемого гармонического ряда. Парадоксы о времени, идущем назад, тахионах и путешествиях во времени затрагивают фундаментальные понятия теории относительности. Трюк, позволяющий избегать путешествий во времени с помощью разветвляющихся путей и параллельных миров, познакомит вас с необычным подходом к квантовой механике, известным под названием "подход многих миров".
Заключительный парадокс о конфликте между детерминизмом и индетерминизмом позволяет читателю бросить беглый взгляд на одну из извечных и наиболее глубоких проблем философии.
"Сумасшедшие" часы Льюиса Кэрролла
Льюис Кэрролл - псевдоним скромного преподавателя математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде Чарлза Лютвиджа Доджсона. Ему принадлежит заметка "Какие часы лучше?" о "сумасшедших" часах [Kэрролл Л. История с узелками.-М.: Мир, 1973, с.387.].
Каким образом Кэрролл определил, как часто часы, отстающие ежесуточно на 1 мин, показывают точное время? Поскольку часы каждые сутки отстают на 1 мин, они покажут точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 720 суток.
Загадочное колесе
О каких скоростях идет речь, когда говорят, что верхняя часть катящегося колеса движется быстрее нижней? Разумеется, о скоростях относительно земли. Парадокс легко решается, если рассмотреть кривую, известную под названием "циклоида". Любая точка на ободе колеса, катящегося по прямой, описывает циклоиду. В точке касания колеса с поверхностью земли скорость равна нулю. Оторвавшись от земли при качении колеса, точка на ободе начинает разгоняться и в верхней точке движется с максимальной скоростью. Затем по мере приближения к земле движение точки на ободе замедляется, и в новую точку касания она приходит с нулевой скоростью. На колесах железнодорожных вагонов имеются выступы - реборды. Когда колесо катится по рельсу, точка на ободе реборды, описывая небольшую петлю, расположенную ниже уровня рельса, какое-то время движется назад.
Циклоида обладает множеством красивых математических и механических свойств. Одна из глав моей "Шестой книги математических забав" из журнала Scientific American называется "Циклоида - Елена Прекрасная геометрии". В ней, в частности, рассказывается, как начертить циклоиду с помощью катящейся банки из-под кофе. Построим циклоиду и выведя ее уравнение, вы сможете лучше оценить изящество этой кривой и ее необычные свойства.
Разочарованный лыжник
Сначала кажется, что решение парадокса как-то связано с расстоянием, проходимым лыжником при подъеме и спуске. Но в действительности оно несущественно. Лыжник преодолевает какое-то расстояние, поднимаясь на гору, и хотел бы спуститься со скоростью, при которой средняя скорость при подъеме и спуске была бы вдвое больше скорости при подъеме. Чтобы развить такую среднюю скорость, лыжнику пришлось бы преодолеть вдвое большее расстояние (туда и обратно), чем он преодолел при подъеме, за то же время, которое он затратил на подъем. Следовательно, на спуск у нашего лыжника просто нет времени; он должен был бы преодолеть склон за нулевое время! Поскольку это невозможно, лыжник никаким способом не может поднять свою среднюю скорость с 5 до
Парадоксы Зенона
В обоих парадоксах Зенона бегунов следует считать точками, движущимися с постоянной скоростью вдоль прямой. Зенон знал, что если отрезок AB имеет конечную длину, то точка, движущаяся из A в B с конечной скоростью, достигает финиша за конечное время. Свои парадоксы Зенон придумал для того, чтобы продемонстрировать, к каким трудностям приводят атомистические представления о структуре пространства и времени, согласно которым отрезок "рассыпается" на отдельные неделимые элементарные отрезки, нанизанные один за другим, наподобие бусин, а время - на отдельные неделимые промежутки (и элементарным отрезкам, и элементарным промежуткам времени атомисты приписывали конечную протяженность) .
Доказать, что бегун достигнет финиша (точки B) за конечное время, поскольку на преодоление половины очередного отрезка дистанции ему потребуется вдвое меньше времени, чем на преодоление половины предыдущего отрезка (как это сделали мы), еще не означает решить парадоксы Зенона. Услышав о нашем решении, Зенон возразил бы, что, подобно тому как, прежде чем преодолеть любое расстояние, бегун сначала должен преодолеть половину этого расстояния, прежде чем истечет какой-то промежуток времени, должен истечь вдвое меньший промежуток времени. Иначе говоря, все, что Зенон говорит о прямой, в равной мере применимо и к временной последовательности событий. Время, затрачиваемое бегуном на преодоление дистанции, будет все более приближаться к 2 мин, но до истечения 2 мин всегда будет оставаться бесконечное число мгновений ("неделимых" по терминологии атомистов). То же относится и к парадоксу об Ахилле и черепахе. На каждом этапе бесконечного процесса преследования черепахи быстроногим Ахиллом впереди - и в пространстве, и во времени - неизменно будет оставаться бесконечно много "следующих" этапов.
Многие специалисты согласились со знаменитым анализом парадоксов Зенона, данным Бертраном Расселом. По мнению Рассела, парадоксы Зенона не были удовлетворительно решены вплоть до появления теории бесконечных множеств Георга Кантора.
Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Суть парадоксов Зенона и состоит как раз Б том, что ни пространственные отрезки, ни временные промежутки недопустимо рассматривать как состоящие из бесконечно большого числа дискретных членов, изолированных друг от друга, как следы на снегу. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему - последовательную теорию бесконечных множеств.
Резиновый канат
Задача легко решается, если учесть, что канат растягивается равномерно, как резиновая лента. Следовательно, при каждом растяжении червяк переезжает вперед - его переносит на себе, растягиваясь, сам канат.
Путь, пройденный червяком за каждую секунду, удобно выражать в долях длины каната к концу той же секунды. Как только сумма дробей, выражающих эти доли, станет равной 1, червяк достигнет конца каната.
В одном километре
1/100000 (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/k).
В скобках стоит сумма первых k членов так называемого гармонического ряда. Заметим, что сумма членов, заключенных между 1/2 и 1/4, включая 1/4, то есть 1/3 + 1/4, больше, чем 2*1/4 = 1/2. Аналогично сумма членов, заключенных между 1/4 и 1/8, включая 1/8, то есть 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, больше, чем 4*1/8 = 1/2. Следовательно, сумма членов ряда, заключенных между 1/1 и 1/(2k), включая 1/(2k), всегда больше, чем k*1/2 = k/2, в чем нетрудно убедиться, если члены сгруппировать: возьмите сначала сумму двух первых членов, затем сумму следующих восьми членов и т.д. Частная сумма членов гармонического ряда может быть сделана сколь угодно большой.
Червяк доползет до конца каната, прежде чем с момента старта истекут 2(200000) с. Более точная оценка составляет e(100000), где e - основание натуральных логарифмов (иррациональное число, чуть большее числа 2,7). Обе оценки дают представление о времени в пути (в с) и о пройденном червяком расстояния (в см).
Точная формула частичной суммы членов гармонического ряда приведена, например, в статье Р.П. Боаса и Дж.М. Ренча "Частичные суммы гармонического ряда" [American Mathematical Monthly, October 1971, 78, pp. 864-870]. Когда червяк доползет до конца, длина каната будет во много раз превышать диаметр известной части Вселенной. На свой нелегкий путь червяк затратит время, которое во много раз превышает возраст Вселенной по оценкам современной космологии. Разумеется, в задаче речь идет об "идеализированном" червяке и "идеализированном" канате - точке на прямой. Реальный червяк тихо скончался бы в самом начале путешествия, а реальный канат от растяжения стал бы таким тонким, что отдельные его молекулы оказались бы разделенными огромными пустыми промежутками.
Независимо от параметров задачи (начальной длины канала, скорости червяка, длины отрезка, на который увеличивается с каждой секундой длина каната) червяк всегда доползает до конца за конечное (хотя и очень большое) время. Интересные задачи возникают, если мы будем по-разному удлинять канат. Например, что произойдет, если длина каната будет возрастать в геометрической прогрессии, скажем удваиваться в каждую секунду? В этом случае червяк никогда не достигнет конца каната.
Сверхзадачи
Парадоксы с "сверхзадачами", выполняемыми так называемыми "машинами бесконечности", и поныне волнуют специалистов по математической логике и философов. Парадокс с лампой известен под названием "лампа Томсона" - в честь впервые написавшего о нем Джеймса Ф. Томсона. Всякий согласится, что лампу Томсона нельзя построить реально, но дело не в этом. Главное в том, что если принять некоторые допущения, то лампа Томсона не приводит к логическим противоречиям. По мнению одних, лампа Томсона - вполне разумный "мысленный эксперимент", по мнению других, - вопиющая нелепость.
Парадокс с лампой Томсона беспокоит наш разум потому, что не существует логической причины, по которой лампу Томсона нельзя было бы бесконечно много раз включить и выключить. Если бегун Зенона успевает за 2 мин преодолеть бесконечно много отрезков дистанции, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то почему ровно за 2 мин нельзя успеть бесконечно много раз включить и выключить некую реально не существующую идеальную лампу? Но если лампа Томсона может за 2 мин бесконечно много раз перейти из состояния "вкл" в состояние "выкл", то это означает, что существует "последнее" натуральное число, с чем трудно согласиться.
Философ Макс Блэк сформулировал тот же парадокс несколько иначе. Он рассмотрел "машину бесконечности", переводящую шарик из лунки A в лунку B за 1 мин, затем возвращающую шарик из лунки B в лунку A за 1/2 мин, снова переводящую его из лунки A в лунку B за 1/4 мин и т.д., каждый раз вдвое быстрее, чем в предыдущий. Ряд 1 + 1/2 + 1/4 + сходится, и все операции по перекатыванию шарика завершаются в течение 2 мин. Но в какой из лунок - в A или B - окажется шарик по истечении 2 мин? В какой бы из них он ни оказался, это будет означать что последнее натуральное число либо четно, либо нечетно. Так как последнего счетного числа не существует, то обе возможности, по-видимому, исключаются. Но если шарика нет ни в лунке A, ни в лунке B, то где же он?
Основные статьи по анализу "сверхзадач" опубликованы в сборнике "Парадоксы Зенона" под редакцией Весли Ч. Солмона. Подробному разбору такого рода парадоксов посвящена книга Адольфа Грюнбаума "Современная наука и парадоксы Зенона" [см. список литературы. - Перев.].
Мэри, Том и Фидо
Первая задача (Том и Мэри идут навстречу друг другу, а Фидо бегает между ними туда и обратно) классическая. Она существует в различных вариантах. Иногда это задача о мухе, летающей туда и обратно между двумя сближающимися локомотивами, иногда - задача о птичке, порхающей между двумя едущими во встречных направлениях велосипедистами.
Рассказывают, что когда эту задачу предложили американскому математику Джону фон Нейману, тот сразу назвал правильный ответ. "Поздравляю! - сказал собеседник фон Неймана, сообщивший ему задачу. - Большинство людей пытаются решить задачу очень трудным способом, суммируя бесконечный ряд отрезков". "Но именно это я и сделал", - с удивлением ответил фон Нейман.
Итак, в какую сторону будет обращена морда Фидо в тот момент, когда Том и Мэри сойдутся посредине разделявшего их километрового отрезка? Задать такой вопрос все равно что спросить, будет ли включена или выключена лампа Томсона по окончании всех манипуляций с выключателем, или в какой из двух лунок, А или В, окажется в конце концов шарик. Это только кажется, будто Фидо должен быть обращен мордой либо к хозяину, либо к хозяйке. В действительности же любой ответ подразумевает, что существует последнее натуральное число (звеньев ломаной, по которой бежит собака), которое либо четно, либо нечетно.
Но если мы обратим процесс сближения Тома, Мэри и Фидо во времени, заставив Мэри и Тома расходиться из середины километрового отрезка, а Фидо по-прежнему бегать между хозяином и хозяйкой, то возникнет новый парадокс. Наша интуиция подсказывает нам, что если некую однозначно определенную процедуру обратить во времени, то есть изменить направление всех движений на противоположное, то мы должны вернуться к тому, с чего начали. Однако в рассматриваемом случае процедура при обращении времени утрачивает однозначную определенность. Если события развиваются от начала к концу, то Фидо оказывается в середине километрового отрезка, разделявшего Тома и Мэри. Но если события развиваются от конца к началу, то место, где будет находиться Фидо, когда Том и Мэри разойдутся на
Более подробный анализ этого парадокса проведен Весли Солмоном (Scientific American, декабрь 1971). И задача о двух хозяевах и их верной собаке, и парадоксы Зенона, и лампа Томсона могут служить описательным введением в теорию пределов и суммирования бесконечной геометрической прогрессии.
Ломаная, по которой бежит Фидо, похожа на траекторию прыгающего мячика. Вот несложная задача о таком мячике. Предположим, что круглый мяч брошен на пол с высоты
Предположим, что мяч подпрыгивает каждый раз на высоту, составляющую 1/3 от предыдущей. Какова суммарная высота всех подскоков в этом случае?
Может ли время идти вспять?
Какие события допускают "обращение во времени", то есть изменение направления движения на противоположное, и какие не допускают? Чтобы наглядно представить себе различие между теми и другими, предположим, что мы отсняли некие события кинокамерой и просматриваем ленту на экране, прокручивая ее в обратную сторону. Какие события из числа происходящих на экране противоречат законам природы и какие согласуются с ними?
Если на экране автомашина движется задним ходом, то это не выглядит противоестественным: и в реальной .жизни нам неоднократно случается видеть, как водитель ставит машину на место задним ходом. Но если на экране прыгун в воду взлетает на трамплин из бассейна, то это явный признак того, что киномеханик не перемотал киноленту и пустил фильм от конца к началу. То же можно сказать и в том случае, если разбитое яйцо на экране само собой соберется на полу в целое и прыгнет кому-то в руки. В реальной жизни так никогда не бывает.
Даже если ход события "обращен во времени" изменением направления движения на противоположное (как при проигрывании пластинки от конца к началу), он протекает во времени, продолжающем идти вперед, а не назад. Стрелы обычно летят в ту сторону, в которую обращен их наконечник. Представьте себе, что на ваших глазах стрела, описав дугу в небе оперением вперед, попадает прямо в руки стрелку из лука: на тетиву стрела ляжет позже, чем побывает в воздухе. Артур Эддингтон однажды сравнил время с символической стрелой, всегда указывающей одно и то же направление. События в нашей Вселенной неумолимо следуют одно за другим от прошлого к будущему и никогда - от будущего к прошлому.
В последние годы физики и специалисты по космологии обсуждали возможность протекания событий "в обратном направлении" в других мирах. Лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман предложил интерпретацию квантовой теории поля, в которой античастицы рассматривались как частицы, движущиеся назад во времени. Об этих фантастических теориях вы можете прочитать в четырех последних главах второго издания моей книги "Этот правый, левый мир".
Машины времени
О путешествиях в прошлое и будущее написаны сотни научно-фантастических повестей и рассказов, снято множество кино- и телефильмов. Классический образец литературы о путешествиях во времени - "Машина времени" Герберта Уэллса.
Возможно ли логически путешествие во времени, или оно приводит к противоречиям? Из приведенных парадоксов мы видим, что если принять гипотезу о существовании единственной Вселенной, движущейся вперед во времени, то всякая попытка вернуться в прошлое может привести к логическому противоречию. Рассмотрим первый парадокс, в котором путешественник во времени, вернувшись в прошлое, видит себя в младенческом возрасте. Убив младенца, он сам окажется и существующим, и не существующим: если убит тот, кто вырос и стал профессором Брауном, то откуда взялся профессор Браун?
Второй парадокс более тонкий. В том, что профессор Браун отправился в будущее и вырежет свое имя на дереве, нет никакого логического противоречия. Оно возникнет после того, как профессор Браун вернется в настоящее, то есть совершит путешествие во времени в обратном направлении. Срубив дерево, профессор Браун исключит его из будущего, и мы снова приходим к противоречию: в некоторый момент в будущем дерево будет и существовать, и не существовать.
Тахионный телефон
Эпизод с изобретением профессора Брауна показывает, что парадокс возникает не только, когда кто-нибудь путешествует по времени в обратном направлении. Любой сигнал или объект, отправленный против течения времени, может привести к противоречию. Например, профессор Браун мог бы сказать себе в понедельник: "В следующую пятницу я сяду в машину времени, надену галстук и отошлю его в прошлый вторник, то есть в завтра". Разумеется, во вторник профессор найдет свой галстук в машине времени и, предположим, уничтожит его. Тогда в пятницу у профессора не будет галстука для того, чтобы отослать его во вторник. Галстук был, когда профессор Браун отсылал его во вторник, но вот снова наступила пятница, и никакого галстука, который можно было бы послать в прошлый вторник, нет и в помине!
Несмотря на все эти трудности, многие физики вполне серьезно относятся к тахионам. (Дж. Фейнберг посвятил тахионам научно-популярную статью "Частицы со скоростью, большей скорости света" - Scien-tific American, февраль 1970.) Согласно теории относительности, скорости обыкновенных частиц ограничены сверху скоростью света. Тем не менее физики рассмотрели гипотетическую возможность существования частиц (названных Фейнбергом тахионами), скорость которых всегда гораздо больше скорости света. Для тахионов скорость света является нижним пределом. Теория относительности с необходимостью приводит к заключению, что такие частицы должны двигаться во времени так же, как мисс Антуанетт из следующего лимерика:
Шустрая мисс Антуанетт
Носилась по свету быстрее, чем свет,
Ей в завтра хотелось попасть,
Да все втуне:
Умчится теперь, прилетит накануне!
Парадокс с тахионным телефоном отнюдь не доказывает, что тахионы не могут существовать. Он показывает лишь, что если тахионы существуют, то их нельзя использовать для связи, так как в противном случае мы столкнулись бы с приведенным выше логическим противоречием. Более подробно об этом парадоксе и вытекающих из него следствиях относительно исследований тахионов рассказывается в статье Дж.А. Бенфорда, Д.Л. Бука и У.А. Ньюкома "Тахионный антителефон" [Physical Review, D, v. 2, July 1972.].
Параллельные миры
Мы изобразили в картинках фантастический способ, позволяющий совершать путешествия во времени и не впадать при этом в логические противоречия. Придумали его писатели-фантасты. Он положен в основу не менее дюжины произведений современной фантастики. Хитрость состоит в том, что когда кто-нибудь или что-нибудь попадает в прошлое, Вселенная расщепляется на параллельные миры. Но коль скоро происходит такое расщепление, исчезает противоречие между существующим и несуществующим профессором Брауном, срубленным и несрубленным деревом. Если есть параллельные миры, то Браун (или дерево), может существовать в одном мире и не существовать в другом.
Интересно отметить, что представление о разветвляющихся мирах лежит в основе одной интерпретации квантовой механики. Она называется теорией многих миров. Ей посвящены целые книги. Согласно этой необычной теории, впервые выдвинутой в 1957г. Хью Эвереттом III, Вселенная каждый миг расщепляется на бесчисленные параллельные миры. Каждый такой мир представляет собой одну из возможных комбинаций событий, которые могли бы произойти в момент расщепления. Возникает необозримое множество Вселенных, охватывающих все возможные комбинации мыслимых событий. Описание этой невероятной картины приведено в научно-фантастическом романе Фредерика Брауна "Что за безумный мир":
Если число вселенных бесконечно, то должны существовать все возможные комбинации. Следовательно, все что угодно где-то должно быть истинным. Где-то должна быть Вселенная, в которой Гекльберри Финн не литературный персонаж, а реальный человек, делающий все то, что ему предписал делать Марк Твен. Более того, где-то должны быть бессчетные вселенные, в которых бессчетные Гекльберри Финны проделывают все, о чем только мог подумать Марк Твен, сочиняя свой бессмертный роман А в бесконечно многих вселенных происходит нечто такое, что мы не можем ни выразить словами, ни вообразить".
Замедление времени
Противоречия возникают только при путешествиях в прошлое, но не в будущее. Ведь если строго разобраться, то мы все, хотим ли того или нет, путешествуем в будущее. Отправляясь вечером спать, вы надеетесь проснуться в ближайшем будущем. Вполне мыслима такая ситуация, когда человек, погруженный в состояние анабиоза, будет реанимирован, например, через тысячу лет. Именно такое "путешествие во времени" лежит в основе многих научно-фантастических произведений, в том числе, и романа Герберта Уэллса "Когда спящий проснется".
Как показано на наших рисунках, теория относительности Эйнштейна позволяет осуществить путешествие в будущее на другом принципе. Согласно специальной теории относительности, чем быстрее движется объект, тем медленнее течет его время относительно наблюдателя. Например, если космический корабль движется относительно Земли со скоростью, близкой к скорости света, то время на таком корабле будет идти гораздо медленнее, чем на Земле. На борту корабля астронавты не заметят необычного. Часы астронавтов с их точки зрения будут идти нормально, сердца - биться в обычном ритме и т. д. Но если бы земные наблюдатели могли видеть их, то движения астронавтов показались бы наблюдателям настолько замедленными, словно те, окаменев, превратились в статуи. В свою очередь, если бы астронавты могли наблюдать за жителями Земли, то им показалось бы, что все события происходят в ускоренном темпе: земной год уложился бы в несколько часов.
Причина, по которой мы не наблюдаем ничего подобного в повседневной жизни, заключается в том, что все эти эффекты становятся значительными при скоростях, близких к скорости света, обозначаемой по традиции буквой c и составляющей около 300000 км/с. Промежуток времени T, измеренный но земным часам, связан с промежутком времени T', измеренным по часам, находящимся на космическом корабле, который движется с постоянной скоростью vотносительно Земли, простой формулой:
T' = 1/sqrt(1-v2/c2)
Подставляя любую повседневно встречающуюся скорость в выражение под радикалом, вы получите величину, столь близкую к единице, что T и T' можно, по существу, считать равными. Но если вы подставите v = 0,5 c, v = 0,75 c или v = 0,90 c (такие скорости характерны для некоторых субатомных частиц), то замедление времени становится достаточно заметным, чтобы его можно было измерить в лаборатории Такие измерения проводились и стали сильным подтверждением специальной теории относительности.