Куда исчезает фигурка?

Самые забавные варианты этой разновидности парадоксов известны в виде картинок, на которых один из персонажей таинственным образом куда-то исчезает.

Парадоксы с исчезающими фигурками вот уже более ста лет используются в США для рекламы различных товаров. В конце прошлого века известный американский изобретатель головоломок Сэм Лойд придумал вариант парадокса, в котором фигурки китайских воинов располагались по кругу. При повороте диска один из воинов исчезал. С тех пор появилось множество вариантов парадоксов с фигурками, расположенными и вдоль прямой, и по кругу. Подробно парадоксы такого рода рассмотрены в гл. 5 моей книги "Математические чудеса и тайны" [Гарднер М. Математические чудеса и тайны.-М.: Наука, 1964, с.84-102.].

Чтобы понять, в чем секрет таинственных исчезновений, начертим на листе бумаги десять линий:

Разрезав лист вдоль пунктирной линии, сдвинем нижнюю часть влево и вниз:

Сосчитаем линии. Их теперь только девять! Спрашивать, какая из десяти линий исчезла, бессмысленно: в действительности 10 исходных линий разрезаются на 18 отрезков, из которых составляются 9 новых линий. Каждая из этих линий на 1/9 длиннее каждой из исходных линий. Если нижнюю часть листа сдвинуть назад, то есть вправо и вверх, возникнут 10 исходных линий, каждая из которых на 1/10 короче любой из тех 9 линий, которые были перед вторым сдвигом.

Принцип, положенный в основу многочисленных вариантов парадоксов с исчезновением и появлением линий и фигурок, давно известен фальшивомонетчикам. Разрезав 9 долларовых купюр на 18 частей вдоль определенных линий защитной сетки и переставив эти части, мошенники получают 10 купюр.

Подделку легко обнаружить, так как цифры номера на фальшивых купюрах оказываются сдвинутыми. Дело в том, что во избежание подобной подделки номера на купюрах печатаются у противоположных обрезов на разной высоте - вверху и внизу. В 1968г. в Лондоне за попытку подделать таким образом 5-фунтовую банкноту фальшивомонетчик был осужден на 8 лет тюремного заключения.

Хищение в банке

Хотите верьте, хотите не верьте, но парадоксы с исчезновением фигур имеют нечто общее с методом, которым некий нечистый на руку программист воспользовался, чтобы совершить хищение в одном крупном банке.

Вор. Все гениальное просто! Я могу без труда ежемесячно срывать куш в 500 долларов. Для этого мне достаточно ввести в компьютер программу, по которой счет каждого клиента будет округляться не до ближайшего целого числа пенни, а до пенки в сторону понижения.

Вор. Каждый клиент банка будет ежемесячно терять по полпенни. Поскольку сумма эта невелика, потери никто не заметит. У банка около 100000 клиентов, поэтому общая потеря составит 500 долларов. Их компьютер будет ежемесячно переводить на мой счет, а во всех банковских книгах баланс всегда будет сходиться.

Парадоксы с исчезновением фигур основаны на незаметном "похищении" небольших частей фигуры из разных мест. Так, если разрезать на части первый ковер мистера Рэнди и составить из них прямоугольник, то части будут находить друг на друга вдоль главной диагонали, образуя почти незаметный ромб. Второй ковер мистера Рэнди, если разрезать его на части и составить из них новый ковер, чуть сокращается по высоте.

После того как компьютер переведет на счет вора 500 долларов, некоторые из клиентов банка получат на 1 пенни меньше процентов, чем им причиталось бы.

Тор наизнанку

Топологию иногда называют геометрией на резиновой поверхности, так как она занимается изучением свойств, не изменяющихся при непрерывных деформациях (изгибании, растяжении или сжатии) фигур.

Top - замечательная поверхность, имеющая форму бублика. Должно быть, вы очень удивитесь, если вам скажут, что проделав в торе из тонкой резины дыру, можно вывернуть его наизнанку. Между тем это действительно возможно, хотя и весьма трудно.

Предположим, что мы приклеили одну ленту вдоль параллели еще не вывернутого тора изнутри, а другую - вдоль меридиана снаружи. Обе ленты не сцеплены.

Вот как выглядит тор после того, как его вывернули наизнанку. Однако что это? Ленты теперь сцеплены! Но два кольца невозможно сцепить, не разрезая и не склеивая хотя бы одно из них. Что-то здесь не так! Что именно?

Тор действительно можно вывернуть наизнанку через проделанное в нем отверстие, но ленты от этого не станут сцепленными. При выворачивании тора наружная и внутренняя ленты меняются местами. После того как тор вывернут наизнанку, малая лента (меридиан) растягивается в большую (параллель), а большая сжимается в малую. Ленты по-прежнему остаются несцепленными. Объясняется кажущийся парадокс неожиданно просто: художник нарисовал вывернутый тор так, как подсказывала ему интуиция, а не. так, как тот выглядит на самом деле.

Резиновую модель тора, например велосипедную камеру, нелегко вывернуть наизнанку через дырочку, так как камеру при этом необходимо очень сильно растягивать. Гораздо легче вывернуть тор, сделанный из мягкой ткани. Сложите квадратный кусок ткани пополам и сшейте края так, чтобы получилась трубка. Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). "Дыру" следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко.

Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы - в параллели. Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим - меридиан. После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются местами.

Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко. Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли "Топология" в Scientific American за январь 1950 г,

С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры. Может ли один из торов "проглотить" другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в моей статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific American за 1977г. Другие парадоксы, связанные с торами, вы найдете в моих статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г, (о заузленных торах) и в декабре 1979г.

Чудо-коса

Венди решила купить себе кожаный браслет.

В магазине ей понравились два браслета. Каждый из них был сделан из трех ремешков: один сплетен из ремешков, другой - гладкий. Венди. Сколько стоит плетеный браслет? Люк. Пять долларов, мадам, но, к сожалению, он уже продан.

Венди. Какая жалость! А нет ли у вас еще одного такого браслета?

Люк. Есть, вот он перед вами. Венди. Да, но ведь этот браслет не плетеный, а гладкий. Люк. С удовольствием заплету его для вас.

Хотя в это трудно поверить, Люк сплел браслет за полминуты, не разрезав ни одного ремешка! Вот как он начал.

Самое удивительное в плетеном браслете, который так понравился Венди, - это то, что "косу" можно заплести даже в том случае, если концы "прядей" скреплены с двух сторон. Иначе говоря, плетеный браслет топологически эквивалентен гладкому. Последовательные этапы плетения браслета изображены ниже. Ремешки в таком браслете перекрещиваются 6 раз. Удлиняя их, можно заплетать косы с любым числом перекрещиваний, кратным 6. Если вы захотите сплести себе браслет или пояс, замочите предварительно кожу в теплой воде, чтобы она стала мягче.

Косы такого рода можно заплетать не только из трех, но и из большего числа прядей. Более подробно о таких косах рассказывается в статье А.Г. Шепперда "Косы, которые можно заплести из прядей, скрепленных с обоих концов" [Proceedings of the Royal Society, 1962, A265, pp.229-244.]. См. также главу "Теория групп и косы" в моей книге "Математические головоломки и развлечения" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с.125-132.].

Большинство людей видят в таком браслете лишь еще один топологический курьез. В действительности же речь идет о вещах несравненно более важных и интересных. Математик Эмиль Артин построил даже теорию кос, воспользовавшись для этого аппаратом теории групп.

Элементом группы является схема переплетения прядей, операция состоит в последовательном плетении двух схем, а элементом обратным данной схеме, - зеркально-симметричная схема. Косы служат великолепным введением в теорию групп и преобразований. (Элементарное введение в теорию кос можно найти в статье Артина "Теория кос" [The Mathematical Teacher, may 1959.].)

Точка, которой не может не быть

Пат поднимался по узкой тропинке, ведущей к вершине горы. Он отправился в путь в 7.00 утра и в тот же день достиг вершины в 7.00 вечера.

Переночевав на вершине, Пат на следующее утро в 7.00 пустился в обратный путь по той же тропинке.

В тот же день в 7.00 вечера Пат спустился в долину, где встретил своего преподавателя топологии миссис Клейн. М-с Клейн. Рада видеть вас, Пат. Известно ли вам, что какую-то точку своего маршрута вы вчера и сегодня миновали в одно и то же время? Пат. Должно быть, вы разыгрываете меня, миссис Клейн! Такого не может быть! Я шел с различной скоростью и даже останавливался на привал, чтобы отдохнуть и перекусить.

Но миссис Клейн оказалась права. М-с Клейн. Представьте себе, что у вас есть двойник, который начинает спускаться в тот самый момент, когда вы начинаете восхождение. Независимо от того, с какой бы скоростью ни проходил он отдельные участки маршрута, вы все равно с ним встретитесь.

М-с Клейн. Мы не можем сказать заранее, где именно произойдет встреча, но в том, что она непременно произойдет, нет никаких сомнений. Следовательно, какую-то точку маршрута вы вчера и сегодня миновали в одно и то же время.

Поскольку Пат затратил на подъем и спуск одно и то же время, каждой точке маршрута мы можем сопоставить 2 числа, показывающие, когда Пат миновал ее по пути на вершину и при спуске. Между этими числами существует взаимно-однозначное соответствие, и по крайней мере два числа совпадают. Историю о Пате можно рассматривать как очень простой пример того, что топологи называют теоремой о неподвижной точке. Она принадлежит к числу так называемых чистых теорем существования, то есть лишь утверждает, что по крайней мере одна неподвижная точка существует, умалчивая о том, каким образом эту точку можно найти. Теоремы о неподвижной точке играют важную роль в приложениях топологии к другим областям математики и к естественным наукам.

Суть знаменитой теоремы о неподвижной точке можно продемонстрировать, взяв пустую коробку и лист бумаги, точно покрывающий ее дно. Пусть каждой точке на листе бумаги соответствует та точка на дне коробки, которая под ней находится. Вынув затем лист из коробки и скатав его в шарик, бросим его обратно в коробку. Топологи доказали, что независимо от того, как именно смят лист бумаги и в какое место на дне коробки попал скатанный из него бумажный шарик, по крайней мере одна точка на листе непременно окажется над соответствующей ей точкой на дне коробки! (См. раздел "Теорема о неподвижной точке" в главе 5 ("Топология") книги Р. Куранта, Г. Роббинса "Что такое математика?" [Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. Изд. 2-е.-М.: Просвещение, 1967, с.282-285.])

Теорема о неподвижной точке, впервые доказанная голландским математиком Брауэром в 1912г., имеет много необычных приложений. Например, она позволяет утверждать, что в любой момент времени на земном шаре существует такое место, где скорость ветра равна нулю. Другое, не менее удивительное следствие из той же теоремы: на земном шаре всегда существуют по крайней мере две точки-антипода (лежащие на противоположных концах одного диаметра Земли), в которых температура и барометрическое давление совпадают. Аналогичная теорема позволяет доказать, что шар, поросший волосами, невозможно причесать гладко: по крайней мере один волос всегда останется торчать. (В отличие от шара волосатый тор можно причесать гладко.) Хорошим введением в теоремы такого рода может служить статья Марвина Шинброта "Теоремы о неподвижной точке" (Scientific American, январь 1966).

Невозможные объекты

Еще больше, чем точка, проходимая при подъеме и спуске в одно и то же время. Пата удивила эта лестница. По ней можно идти нескончаемо долго только вверх (или только вниз) и при этом возвращаться на исходное место.

Сколько зубцов на этом грозном оружии: два или три?

Не могли бы вы сбить из дощечек эту "сумасшедшую" клеть?

Лестница, x-зубец (x=2 или x=3) и клеть принадлежат к числу так называемых "невозможных объектов", или "неразрешимых фигур". Невозможную

лестницу придумали английский генетик Лайонел С. Пенроуз и его сын математик Роджер Пенроуз, который впервые опубликовал ее в 1958г. Ее нередко называют лестницей Пенроуза. Она поразила воображение голландского художника М. К. Эшера, который использовал ее в одной из своих литографий "Подъем и спуск".

Автор x-зубца с двумя или тремя зубьями неизвестен. Этот невозможный объект встречается примерно с 1964г. На обложке мартовского номера журнала Mad за 1965г. изображен Альфред Э. Нейман, балансирующий таким x-зубцом на указательном пальце.

Автор сумасшедшей клети также неизвестен. Она изображена на рисунке Мориса Эшера "Бельведер". И невозможная лестница, и невозможный предмет с двумя или тремя зубьями, и сумасшедшая клеть показывают, как легко мы "попадаемся на удочку", считая изображенный на рисунке объект подлинным, хотя в действительности он логически противоречив и, следовательно, не может существовать. Невозможные объекты - своего рода визуальные аналоги таких неразрешимых утверждений, как "Это утверждение ложно", о которых говорилось в главе 1.

Другие примеры невозможных объектов приведены в главе, посвященной оптическим иллюзиям, моей книги "Математический цирк" и в книгах японского художника-графика Митсумасы Анно "Алфавит Анно" и "Неповторимый мир Анно".

Патологическая кривая

Эта извилистая ломаная, напоминающая по форме контур снежинки, не принадлежит к числу невозможных объектов, хотя и парадоксальна. Ее построение мы начнем с контура этой новогодней елки - равностороннего треугольника.

Разделив каждую сторону на 3 равные части, построим на каждой средней части равносторонний треугольник, лежащий снаружи от большого треугольника.

С каждым из меньших треугольников проделаем ту же операцию: разделим их стороны на 3 равные части и на средних частях построим равносторонние треугольники. Длина ломаной при этом еще больше возрастет, а сама ломаная станет похожа на шестиугольную снежинку.

С каждым разом ломаная будет становиться все длиннее и красивее.

Продолжая построение, мы можем сделать ломаную сколь угодно длинной. Она может умещаться на почтовой марке и все же быть длиннее, чем расстояние от Земли до самой далекой звезды!

Кривая-снежинка - один из красивейших представителей бесконечного множества кривых, названных патологическими из-за своих парадоксальных свойств. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломаных в пределе стремится к бесконечности, хотя площадь заключенного внутри ломаных участка плоскости остается конечной. Иначе говоря, если после очередного увеличения числа звеньев ломаной мы станем измерять ее длину и площадь ограничиваемого ею многоугольника, то последовательность длин окажется расходящейся, а последовательность площадей - сходящейся к пределу, равному 8/5 от площади исходного равностороннего треугольника. К предельной кривой ни в одной точке невозможно провести касательную.

Кривая-снежинка - великолепный повод для того, чтобы освежить в вашей памяти все связанное с понятием предела. Можете ли вы доказать, что если площадь исходного равностороннего треугольника принять за единицу, то площадь части плоскости, заключенной внутри предельной кривой, равна 8/5?

Вот несколько задач на построение, тесно связанных с кривой-снежинкой.

1. Постройте кривую-антиснежинку: вычерчивая равносторонние треугольники, пристраивайте их не снаружи, а изнутри, после чего стирайте их основания. На первом этапе вы получите 3 ромба, соединенные в центре наподобие пропеллера. Имеет ли возникающая в пределе кривая-антиснежинка бесконечную длину? Конечна ли площадь ограничиваемой ею части плоскости?

2. Что произойдет, если за исходную фигуру принять не равносторонний треугольник, а какой-нибудь другой правильный многоугольник?

3. Что произойдет, если на каждой стороне строить по нескольку многоугольников?

4. Существуют ли трехмерные аналоги кривой-снежинки и ее ближайших сородичей? Например, если на гранях тетраэдров строить тетраэдры, будет ли предельное тело иметь поверхность бесконечной площади? Будет ли его объем конечным?

В статье о патологических кривых, опубликованной в декабрьском номере журнала Scientific American за 1976г., я рассказал о парадоксальной кривой, открытой Уильямом Госпером и названной "кривой дракона". Другая замечательная кривая, открытая Бенуа Мандельбротом, украшает обложку апрельского номера того же журнала за 1978г. Ей посвящена моя статья, опубликованная в этом номере журнала. О других патологических кривых, тесно связанных с кривой-снежинкой, рассказывается и в книге Мандельброта "Фрактальная геометрия природы".

• 1
• 2
• 3

• ← предыдущая
• целиком
• следующая →