Алиса и Черный Король

Парадокс Платона и Сократа включает в себя два бесконечных спуска, подобно парадоксу Алисы и Черного Короля из сказки Льюиса Кэрролла "Алиса в Зазеркалье".

Алиса. Черный Король мне снится. Но он спит и видит во сне, будто я сплю и вижу во сне, что он спит и видит меня во сне… Видно, я никогда не доберусь до конца.

Эпизод, в котором Алиса встречает Черного Короля, происходит в четвертой главе сказки Льюиса Кэрролла "Алиса в Зазеркалье". Король спит и, по словам Твидлди, видит во сне Алису. "Ты ему просто снишься, - говорит Твидлди возмущенной Алисе. - Если этот вот Король вдруг проснется, ты сразу же - фьють! - потухнешь, как свеча!"

Но диалог Алисы и Твидлди снится Алисе. Кто же кому снится: Король Алисе или Алиса Королю? Что явь и что сон?

Такого рода "сны во сне" приводят к глубоким философским проблемам реальности. "Если бы мы не облекали их в юмористическую форму, - заметил однажды Бертран Рассел, - то нам пришлось бы признать, что они слишком болезненны".

В парадоксе с курицей и яйцом бесконечная последовательность кур и яиц уходит назад по времени, но в парадоксе Алисы и Черного Короля бесконечный спуск совершается по кругу. Наглядной иллюстрацией парадокса бесконечного спуска, совершаемого по кругу, может служить известный рисунок Морица Эшера "Рисующие руки".

Дуглас Хофштадтер в своей книге "Гёдель, Эшер, Бах: вечное золотое переплетение" называет такие парадоксы "странными петлями". В его книге приведено множество поразительных примеров странных петель в физике, математике, изобразительном искусстве, литературе и философии.

Крокодил и младенец

Греческие философы любили рассказывать притчу о крокодиле, выхватившем младенца из рук матери.

Крокодил. Съем ли я твоего младенца? Если ты ответишь правильно, я верну тебе его целым и невредимым. Мать. О горе мне! Ты съешь моего мальчика.

Крокодил (в смущении). Как мне поступить? Если я отдам тебе младенца, то твой ответ будет неверным. Следовательно, я должен съесть малютку. Отличная идея! Я не отдам тебе его! Мать. Но ты должен вернуть мне его. Ведь если ты съешь моего мальчика, значит, я ответила правильно и ты должен отдать мне его.

Несчастный крокодил настолько растерялся, что упустил мальчишку. Мать подхватила ненаглядное чадо и была такова. Крокодил. Жаль! Вот если бы она сказала, что я отдам ей ребенка, то у меня было бы чем полакомиться на обед.

Крокодил оказался перед неразрешимой проблемой: он должен съесть младенца и в то же время вернуть его матери.

Мать оказалась очень умной женщиной. Ведь если бы она сказала, что крокодил собирается вернуть ей младенца, то крокодил мог бы действительно вернуть его или съесть, не впадая при этом в противоречие. Если бы крокодил вернул младенца матери, то ее утверждение стало бы истинным и крокодил сдержал бы свое слово. С другой стороны, если крокодил достаточно коварен, то он мог бы съесть младенца. Тогда утверждение матери стало бы ложным, и крокодил мог бы считать себя свободным от данного им обещания вернуть матери младенца.

Парадокс Дон Кихота

В романе Сервантеса "Дон Кихот" рассказывается об одном острове, на котором действует удивительный закон. Каждого, проходящего по мосту через реку, судьи подвергают опросу.

Судья. Куда и зачем ты идешь? Тех, кто скажет правду, судьи пропускают, а тех, кто солжет, без всякого снисхождения отправляют на стоящую тут же виселицу и казнят.

Однажды некий человек заявил под присягой, что идет затем, чтобы его вздернули на виселице. Судьи пришли в не меньшее замешательство, чем крокодил. Если они не повесят этого человека, то это будет означать, что он солгал, и его надлежит повесить. Если же они повесят его, то он не солгал и его необходимо пропустить.

Чтобы разрешить свои сомнения, судьи отправили человека к губернатору. После долгих размышлений губернатор объявил свое решение. Губернатор. Любое мое решение нарушило бы закон, поэтому я предпочитаю быть милосердным. Отпустите этого человека. Пусть идет себе с миром!

Парадокс с повешением приведен в главе 51 второй книги романа Сервантеса "Дон Кихот". Слуга Дон Кихота Санчо Панса становится губернатором острова и при вступлении на свой высокий пост клянется соблюдать все законы. Владелец одного поместья на острове издал закон, по которому всякий, проходящий по некоему мосту, должен объявить под присягой, куда и зачем он следует. Того, кто скажет правду, по закону надлежит пропускать, а того, кто солжет, - отправлять на стоящую неподалеку виселицу. Когда к Санчо Пансо приводят человека, утверждающего, будто он пришел за тем, чтобы быть повешенным, новоявленный губернатор решает казусное дело, сообразуясь с милосердием и здравым смыслом.

Суть парадокса Дон Кихота, обладающего несомненным сходством с парадоксом крокодила и младенца, несколько затемняет неоднозначность утверждения, высказанного тем человеком, который перешел мост. О чем идет речь: о намерении или о будущем событии? Если речь идет о намерении быть повешенным, то человек мог сказать правду (то есть действительно мог хотеть, чтобы его повесили). В этом случае судьи не могли бы отправить его на виселицу, и никакого противоречия при этом бы не возникало. Если высказанное утверждение понимать во втором смысле, то любое решение судей противоречит закону.

Парадокс брадобрея

Знаменитый парадокс брадобрея был предложен Бертраном Расселом.

«Брею тех и только тех жителей города, кто не бреется сам» Прочитайте внимательно объявление, вывешенное владельцем парикмахерской. Кто бреет брадобрея?

Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит множеству тех жителей города, кто бреется сам, Но в объявлении утверждается, что наш брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя.

Если же брадобрея бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам. Но в объявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам. Следовательно, никто другой не может брить нашего брадобрея. Похоже, что его не может брить никто!

Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств. Некие математические конструкции приводят к множествам, которые включают себя в качестве одного из своих членов. Например, множество, содержащее все, что не является яблоком, само не является яблоком и, следовательно, должно содержать себя в качестве одного из членов. Рассмотрим теперь множество всех множеств, не содержащих себя в качестве одного из членов. Содержит ли оно себя? Как бы вы ни ответили на этот вопрос, вам не удастся избежать противоречия.

С этим парадоксом связан один из наиболее драматических моментов в истории логики. Знаменитый немецкий логик Готлоб Фреге завершил второй том своих "Оснований арифметики", над которым работал всю жизнь. В этом фундаментальном труде Фреге изложил непротиворечивую теорию множеств, которая могла бы послужить основанием для всей математики. Рукопись находилась уже в типографии, когда Фреге получил от Рассела письмо (дело происходило в 1902г.), в котором Рассел сообщал об открытом им парадоксе. Теория множеств, развитая Фреге, допускала образование множества всех множеств, которые не содержат себя. Но, как явствовало из письма Рассела, это, казалось бы, не таившее никаких опасностей множество было внутренне противоречивым. Фреге не оставалось ничего другого, как дописать к своему труду краткое приложение, которое начиналось словами:

"Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение…".

Использованное Фреге слово "нежелательное" неоднократно приводилось как наиболее яркий пример глубокого непонимания в истории математики.

Мы рассмотрим еще несколько парадоксов того же типа, что и парадокс брадобрея, и упомянем о различных подходах к их разрешению. Одно из возможных решений парадокса Рассела состоит в признании того, что определение "множество всех множеств, которые не содержат себя" не задает этого множества. Более радикальное решение состоит в том, чтобы запретить в теории множеств рассматривать множества, содержащие себя.

Астролог, робот и каталог

Что вы скажете об астрологе, составляющем гороскопы тем и только тем астрологам, которые не составляют себе гороскопов сами? Кто составляет гороскоп такому астрологу?

Что вы скажете о роботе, ремонтирующем те и только те роботы, которые не ремонтируют себя сами? Кто ремонтирует такой робот?

А что вы скажете о каталоге, содержащем сведения о тех и только тех каталогах, которые не включают ссылок на самих себя? В каком каталоге можно найти ссылку на такой каталог?

Все это - различные варианты парадокса Рассела. В каждом случае Множество S по определению содержит те и только те объекты, которые не находятся в определенном отношении R к себе. Парадокс становится очевидным при попытке ответить на вопрос, принадлежит ли множество S самому себе. Приведем еще три классические вариации на эту тему.

1. Парадокс Греллинга назван в честь открывшего его немецкого математика Курта Греллинга. Разделим все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которое они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как "многосложное", "русское" и "видимое", принадлежат к числу самодескриптивных, а такие прилагательные, как "односложное", "немецкое" и "невидимое"Б - к числу несамодескриптивных. К какому из двух множеств принадлежит прилагательное "несамодескриптивное"?

2. Парадокс Берри назван в честь библиотекаря Оксфордского университета Дж. Дж. Берри, который сообщил его Расселу. В парадоксе Берри речь идет о "наименьшем целом числе, которое не может быть задано менее чем тринадцатью словами". Выражение, взятое в кавычки, содержит 12 слов. Какому множеству принадлежит определяемое им выражение: множеству целых чисел, которые на русском языке задаются менее чем 13 словами, или множеству целых чисел, задаваемых на русском языке 13 и более словами? Любой из двух ответов приводит к противоречию.

3. Философ Макс Блэк сформулировал парадокс Берри примерно так. В этой книге упоминаются различные целые числа. Сосредоточим наше внимание на наименьшем целом числе, которое ни прямо, ни косвенно не упоминается в этой книге. Существует ли такое число?

Скучные или интересные?

Одни люди интересные, другие скучные.

Футболист. Я лучший нападающий США.

Музыкант. Я умею играть на гитаре ногами.

М-р Скучмен. Я ничего не умею.

Мы составили два списка. В один внесли всех скучных людей, в другой - всех интересных людей. Где-то в списке скучных людей числится самый скучный человек в мире.

Но именно этим он и интересен, поэтому мы должны вычеркнуть его из списка скучных людей и занести в список интересных людей. М-р Скучмен. Благодарю вас. Но теперь в списке скучных людей где-то затерялся самый скучный человек среди оставшихся, который этим и интересен. Так постепенно каждый скучный человек станет интересным. Станет ли, как вы думаете?

Этот забавный парадокс представляет собой вариант "доказательства" того, что каждое положительное целое число чем-то интересно. Впервые оно было опубликовано Эрвином Ф. Бекенбахом в заметке "Интересные целые числа" в апрельском номере журнала American Mathematical Monthly за 1945г.

Верно ли такое "доказательство" и не таит ли оно в себе логической ошибки? Не перейдет ли снова в разряд скучных человек, чье имя было первым включено в список интересных людей и вычеркнуто из списка скучных людей после того, как список интересных людей пополнится вторым среди самых скучных людей? Можно ли придать какой-то смысл утверждению о том, что каждый человек интересен, поскольку он является самым скучным из людей, образующих определенные множества, подобно тому как каждое целое число является наименьшим числом в определенных множествах чисел? Если все люди (или числа) интересны, то не утрачивает ли от этого смысл прилагательное "интересный"?

Семантика и теория множеств

Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, - теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны.

Соответствие между семантическими и теоретико-множественными парадоксами проистекает из того, что любое истинное или ложное утверждение можно представить в виде некоего утверждения о множествах и наоборот. Например, утверждение "Все яблоки красные" означает, что множество всех яблок содержится в множестве всех красных предметов. На языке высказываний, oтнocитeльно которых можно утверждать, что они истинны или ложны, это переводится так: "Если верно, что x - яблоко, то верно, что x красного цвета.

Рассмотрим утверждение парадокса лжеца "Это утверждение ложно". В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: "Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений".

Если "это" утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, - правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений. Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, - неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений. У каждого семантического парадокса существует теоретико-множественный аналог, а у каждого теоретико-множественного парадокса существует семантический аналог.

Метаязыки

Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием - так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например "Яблоки красные" или "Яблоки синие", делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.

В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.

А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаметаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).

Понятие "метаязык" было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например "У Марса две луны". Такие слова, как "истина" и "ложь", не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей степени, мы должны воспользоваться метаязыком - следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык "богаче" объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: "Снег белый" - утверждение из объектного языка, "Утверждение "Снег белый" истинно" - утверждение из метаязыка.

Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.

Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.

Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.

А. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

В. Утверждение А истинно.

С. Утверждение В истинно.

D. Утверждение С истинно.

Язык на уровне А позволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.

Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла "Что черепаха сказала Ахиллу" [Кэрролл Л. История с узелками. - М.: Мир, 1973, с. 368-372.].

Теория типов

Бесконечная иерархия, аналогичная лестнице метаязыков, позволяет избавиться от теоретико-множественных парадоксов. Ни одно множество не может быть членом самого себя или любого множества более низкого типа. Брадобрей, астролог, робот и каталог просто не существуют.

У лестницы метаязыков Тарского существует теоретико-множественный аналог - теория типов Бертрана Рассела. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что эта теория, устанавливая среди множеств иерархию по типам, исключает высказывания о принадлежности или непринадлежности множества самому себе. Тем самым исключаются противоречивые множества. Они просто-напросто вычеркиваются из системы. Если вы неукоснительно следуете правилам теории типов, то у вас нет разумного способа определить эти множества, чреватые противоречиями. Ситуация, возникающая при этом в теории множеств, аналогична той, с которой мы сталкиваемся в семантике, когда утверждаем, что такие утверждения, как парадокс лжеца, просто [не являются утверждениями", поскольку не соответствуют правилам построения "законных" утверждений.

Не один год понадобился Бертрану Расселу, чтобы разработать теорию типов. Вот что он пишет в книге "Мое философское развитие":

Закончив "Принципы математики", я предпринял решительную попытку найти решение парадоксов. Их существование я рассматривал почти как личный вызов и, если потребовалось бы, посвятил бы всю оставшуюся жизнь попыткам разрешить их. Однако по двум причинам такая приверженность идее избавления от парадоксов казалась мне нежелательной. Во-первых, вся проблема представлялась мне тривиальной… Во-вторых, сколько я ни пытался, мне не удавалось ни на шаг продвинуться в ее решении. Почти все 1903 и 1904гг. ушли на борьбу с парадоксами, но без сколько-нибудь ощутимых признаков успеха.

Предсказание свами

[Свами - наставник.]

Может ли свами видеть будущее в своем хрустальном шаре? Предсказание будущего приводит к необычному логическому парадоксу нового типа.

Однажды свами поспорил со своей десятилетней дочерью Сью. Сью. Ты большой обманщик, папа. На самом деле ты не можешь предсказывать будущего. Свами. Нет, могу! Сью. Нет, не можешь, и я могу доказать это.

Сью написала несколько слов на листке бумаги, сложила его и подсунула под хрустальный шар. Сью. Я описала некое событие, которое либо произойдет, либо не произойдет до 3 часов дня. Если ты сумеешь предсказать, произойдет ли это событие, то можешь но покупать машину, которую ты обещал подарить мне за успешное окончание школы.

Сью. Вот чистая карточка. Если ты считаешь, что событие произойдет, то напиши на ней ДА. Если, по-твоему, оно не произойдет, напиши на карточке НЕТ. Но если твое предсказание окажется неверным, то ты покупаешь мне машину сейчас, не дожидаясь, пока я окончу школу. Идет? Свами. Идет!

Свами написал что-то на карточке. Ровно в 3 часа Сью извлекла листок бумаги из-под хрустального шара и, развернув, прочитала вслух то, что было написано на нем: "До 3 часов ты напишешь па карточке НЕТ".

Свами. Это нечестно с твоей стороны. Я написал на карточке ДА, поэтому я ошибся. Но если бы я написал НЕТ, то все равно бы ошибся. Что бы я ни написал на карточке, мое предсказание в любом случае оказалось бы неверным. Сью. Папочка, мне очень нравятся спортивные машины красного цвета и чтобы кресла были с откидными спинками.

В первоначальном варианте этого парадокса речь шла о компьютере, отвечавшем на все вопросы только "да" или "нет", когда к нему обращаются с просьбой предсказать, будет ли его следующий ответ отрицательным. Ясно, что выдать правильное предсказание логически невозможно. В предельно простом варианте парадокс свами возникнет, если обратиться к кому-нибудь с вопросом: ´´Будет ли следующее произнесенное вами слово словом "нет"? Отвечайте, пожалуйста, только "да" или "нет"''.

Отличается ли парадокс с предсказанием свами от парадокса лжеца, или мы, по существу, имеем дело с одним и тем же парадоксом? Предположим, что человек, к которому мы обратимся с нашим несколько необычным вопросом, ответит: "Нет". Что, собственно, означает такой ответ? В развернутом виде односложное "нет" эквивалентно утверждению "Неверно, что я сейчас скажу: `Неверно'". В свою очередь такое утверждение эквивалентно утверждению "Это утверждение ложно". Таким образом, парадокс свами представляет собой нечто большее, чем замаскированный вариант парадокса лжеца.

Заметим, что подобно тому, как утверждение "Это утверждение истинно" не приводит к парадоксу, вопрос „Будет ли следующее произнесенное вами слово словом да'?" также не приводит к парадоксу. Независимо от того, что ответит на него спрошенный нами человек - "да" или "нет", - никакого противоречия не возникнет. В варианте парадокса лжеца с крокодилом и младенцем это соответствует тому что если бы мать сказала: "Ты вернешь моего сына", то крокодил мог бы и съесть, и вернуть дитя, не впадая при этом в противоречие.

• 1
• 2
• 3

• ← предыдущая
• целиком
• следующая →