И тут я опять подумал, что если есть числа, которые разложить на множители можно, значит, есть числа, которые разложить на множители нельзя. И снова попал в самую точку. Почти. Потому что такие числа есть (их называют ПРОСТЫМИ), но они всё-таки делятся на единицу и на самих себя. А больше ни на что. Вот, например: 2, 3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 2 3, 29… Конечно/это только первые простые числа, всего-то их бесконечное множество. Самое большое из найденных простых чисел записывается более чем тысячью тремястами знаков. С ума сойти! А. .какое следующее — неизвестно. Пока ещё не вычислили.
Впрочем…
Тут Заведующий посмотрел на нас, засмеялся и сказал, что нам в самый раз пойти отдохнуть. Тем более, что рабочий день его кончился. Мы поблагодарили его и пошли на Фрегат.
НОВЫЕ ПРИЗНАКИ
26 нуляля
Сегодня утром капитан сказал, что и этот день Фрегат простоит в бухте Чисел.
Мы с коком тотчас отправились на берег и сами не заметили, как снова очутились у стола находок. Заведующий, казалось, ничуть не удивился нашему приходу и тут же вынул карточку со знакомым нам уже числом 284 130.
— Вчера вы сказали, что это число составное, — вспомнил Пи.— Как это надо понимать?
— Потому что сразу видно, что это число делится и на 2, и на 3, и на 5, и на 6, и на 9, и на 10, и на 11!
Мы так и ахнули! Как он догадался?
А он вовсе и не догадывался, а знал признаки делимости на эти числа. Оказалось, что число 284 130 делится на 2 потому, что оно чётное. Чтобы узнать, делится ли число на 3 и на 9, надо узнать сумму его цифр. Если эта сумма делится на 3 и на 9, значит, на 3 и на 9 делится и само число. Сумма цифр нашего числа равна 18. А 18 делится и на 3, и на 9. Значит, на них же делится и наше число.
— Пойдём дальше, — продолжал Заведующий. — Раз наше число делится на 2 и на 3, оно, конечно, делится и на 6. Ведь 6=2x5. А на5 и на 10 оно делится потому, что оканчивается нулём. Как видите, ничего сложного здесь нет.
— Вы забыли про число 11, — напомнил Пи. — Какой признак делимости на него?
—Про 11 я действительно забыл,—смущённо улыбнулся Заведующий.— Этот признак несложен. Чтобы узнать, делится ли числе 284 130 на 11, я сложил его цифры через одну,— сперва те, что стоят на нечётных местах: 2+4 + 3 = 9, а затем те, что на чётных: 8+1+0 = 9. Как видите, обе суммы одинаковы, а это верный признак делимости на 11. А теперь, — Заведующий торжественно поднял палец,— я расскажу вам ещё о двух замечательных особенностях нашего числа. Обратите внимание на первые две его цифры: они образуют двухзначное число 28, а первые три цифры — трёхзначное число 284.
Каждое из этих чисел замечательно по-своему. Начнём с числа 28. Какие у него младшие делители? Это 1, 2, 4, 7 и 14. Сложите их.
Мы сложили, и что бы вы думали? Оказалось, сумма младших делителей числа 28 равна самому числу! 1+2+4 + 7 + 14 = 28.
Заведующий сказал, что такие числа называются СОВЕРШЕННЫМИ и что сейчас известно восемь совершенных чисел. Например, число 6. Оно тоже совершенное: сумма его младших делителей равна 6: 1+2 + 3=6.
Чудеса! А что происходит с числом 284?
— Тут чудеса другие,— сказал Заведующий. — Его младшие делители 1, 2, 4, 71, 142. Если мы их сложим, то получим в сумме…
— Число 220, — сосчитал я. — И никаких чудес!
Заведующий усмехнулся.
— А чудеса всё-таки есть. Сложим теперь сумму младших делите лей числа 220. Это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и ПО. Что у нас получится? — Он победоносно откинулся на спинку стула. — У нас получится 284!
Ну и что?
Как —— что? Да то, что между числами 220 и 284 существуют интересные взаимоотношения. Можно сказать, дружеские. Они обменялись суммой своих младших делителей. Потому-то их и называют ДРУЖЕСТВЕННЫМИ…
Интересно, сколько других .признаков числа 284130 мы узнали бы сегодня, если бы Заведующий не догадался, что и этих нам на первый раз вполне достаточно?
ПИСЬМО В БУТЫЛКЕ
27 нуляля
Сегодня Единица разрешил мне побыть с ним на капитанском мостике. Я, конечно, первым делом присоседился к подзорной трубе. День выдался ясный. Море было спокойное, добродушное, совсем как наш капитан, когда он в хорошем настроении. И вдруг…
— Лево по борту вижу незнакомый предмет! — закричал я.
Капитан посмотрел в указанном направлении и тотчас приказал спустить шлюпку. Очень скоро «незнакомый предмет» очутился у меня в руках. Это была крепко-накрепко закупоренная бутылка Сквозь зелёное стекло виднелась какая-то бумажка. Мы с трудом выковыряли её оттуда. На ней было написано вот что: «15°30'14" зап. долг. 3°10'05" сев. шир. Рыбаки».
Брови у капитана съехались к переносице.
— Дело серьёзное! Идём на выручку. И он тут же приказал изменить курс.
Я спросил, как он догадался, куда надо спешить.
— Но тут же всё написано, — сказал капитан, — точные координаты!
Я снова заглянул в бумажку и снова ничего не понял. Правда, слово «координаты» я слышал не в первый раз, но не удосужился узнать, что оно означает. Теперь было самое время наверстать упущенное.
Пока Фрегат шёл себе по указанному адресу, я узнал вот что. Координатами называются два числа, по которым можно найти положение точки или любого предмета на поверхности. Но поверхности бывают разные. Поверхность стола — плоская. Поверхность Земли — круглая, или, как говорят учёные, сферическая.
Для разных поверхностей пользуются разными координатами.
Чтобы определить положение точки на плоскости, применяют координаты прямолинейные. Если же нужно найти точку на поверхности шара, лучше выбрать координаты сферические.
Я спросил: как же всё-таки с помощью двух чисел можно найти точку на плоскости?
Капитан вынул из кармана орешек и положил его на стол.
— Давай определим координаты орешка. Для этого выберем сперва оси координат, то есть две прямые, от которых мы будем отсчитывать расстояние до орешка. Проще всего принять за оси координат два взаимно-перпендикулярных края стола. Обозначим одну ось латинской буквой Х: (икс), другую — буквой У (игрек). Точку, где оси Х и У сходятся, назовём началом координат и обозначим её буквой О проведём от орешка перпендикуляры на оси Х и У. Измерим расстояния от начала координат до оснований этих перпендикуляров, то тех точек, где перпендикуляры пересекаются с осями.
Я вынул рулетку.
— В каких единицах будем измерять?
— Да в каких хочешь! Хоть в километрах… Правда, километры стола, пожалуй, не годятся…
Решили вычислять в сантиметрах. И вышло у нас, что по оси Х координата орешка равна
— Вот тебе и точные координаты орешка на столе,— сказав капитан, — 6 и 8. И запомни, пожалуйста, что первое число всегда означает расстояние по выбранной оси Х, а второе —по оси У. А то попадёшь совсем по-другому адресу.
— А как же определяются координаты земные? — спросил я. Ведь земля не стол, а шар; У шара нет никаких краёв.
Капитан хмыкнул.
— Как это ты здорово заметил! Земля и в самом деле шар. Правда, чуточку сплющенный, но это не в счёт. А шар —это такое геометрическое тело, у которого все точки поверхности одинаково удалены от центра. Так вот, чтобы найти нужную нам точку на поверхности шара (то есть на сфере), надо знать её координаты. А для этого необходимо прежде всего выбрать оси координат. Для сферы это не прямые линии, а две взаимно перпендикулярные окружности. Одна из них — та, что делит Землю точно пополам на Северное и Южное полушария,— называется экватором. Другая, которая проходит через Северный и Южный полюсы,— нулевым меридианом.
Услыхав про нуль, я очень обрадовался и захотел узнать, отчего меридиан назвали нулевым.
— Дело в том,— объяснил капитан,— что через Северный и Южный полюсы можно провести сколько угодно меридианов. Поэтому не обходимо было условиться, от какого из них вести счёт. Для этого вы брали меридиан, который проходит через пригород Лондона — Гринвич. Вот почему нулевой меридиан называют ещё и гринвичским Начиная с той точки, где нулевой меридиан и экватор пересекаются экватор разделили на 360 одинаковых частей и провели 180 мёридианов, разделив таким образом Землю на 360 долек.
— Совсем как апельсин, — сказал я. — Только долек у апельсин: гораздо меньше.
Но вот чего я не мог понять: экватор разделили на 360 долек, г меридианов провели всего 180! Как это получилось?
— Ты не подумал о том, что каждый меридиан пересекает экватор в двух точках, — объяснил капитан. — Уразумел? Тогда пойдём дальше. Покончив с экватором, стали делить меридиан. Расстояние по меридиану между экватором и каждым полюсом разделили на 90 равных частей и провели параллельные экватору окружности, которые получили название параллелей.
«Это уже больше похоже не на апельсин, а на арбуз, нарезанный кружками», — отметил я про себя.
— А так как у Земли два полюса, — продолжал капитан, — таки: окружностей получилось 180. По мере приближения к полюсам радиусы параллелей всё время уменьшаются, а на полюсах и вовсе обращаются в точку-
— Стало быть, экватор — это нулевая параллель? — предположил я
— Разумеется, — кивнул капитан. — Вижу, ты в этом разобрался. Тогда пойдём ещё дальше. Разделив сферу на 180 меридианов и 18< параллелей, земной шар как бы поместили в сетку. Расстояние между двумя ближайшими меридианами, отсчитанное по дуге любой параллели, условились считать одним градусом географической долготы, ; расстояний между двумя параллелями, отсчитанное по дуге любого меридиана,—-одним градусом географической широты. Каждый градус, в свою очередь, делится на 60 минут, минута — на 60 секунд. Градусы обозначаются кружком минуты — одним штрихом, секунда — двумя. Вот теперь ты, пожалуй, сам смог бы разобрать запись, сделанную рыбаками.
Я взял бумажку и прочитал:
«15 30' 14'' — 15 градусов 30 минут 14 секунд зап. долг…»
— Что ж ты запнулся? — спросил капитан. — Зап. долг. — значит западной долготы. Это сказано для того, чтобы указать, в какую сторону от гринвичского меридиана следует отмерять градусы дол готы.
После этого мне уже действительно было нетрудно прочитать записку до конца: «15 градусов 30 минут 14 секунд западной долготы, 3 градуса 10 минут 5 секунд северной широты».
— Туда-то мы и спешим, — сказал капитан.
В это время с марса громко закричали: «Люди за бортом!» Что произошло дальше, описывать не стану. Скажу только, что через несколько минут потерпевшие были уже на борту. Все они еле держались на ногах, но сразу же пришли в себя, как только попробовали снадобье, специально для этого случая приготовленное коком. Пи сказал, что это его собственное изобретение, которое он назвал «коктейль для утопающих».
Так благополучно закончилось это приключение. Но вскоре за ним последовало другое.
Наступил полдень. Солнце висело над самой головой. Капитан сказал, что мы огибаем западный берег Африки, и посоветовал быть начеку, потому что нас ожидает… Он не успел договорить: волны закипели, забурлили, и вот уже над ними показался наш старый знакомый — Нептун. На этот раз он ни на кого не гневался. По-моему, он был даже чересчур весел.
Фрегат остановился. Спустили трап прямо в море. Нептун величественно проследовал на палубу. Команда выстроилась перед ним в полном параде, и он каждому пожал руку. Но когда очередь дошла до меня и до кока, Нептун неожиданно подхватил нас и швырнул прямо в море! Мы заорали не своим голосом, но нас быстро выловили и водворили на судно под всеобщий смех и ликование. Мы стояли мокрые, взъерошенные, злые. Но Нептун словно и не замечал этого. Он крепко расцеловал нас и поздравил с посвящением в моряки.
Тут только мы поняли, в чём дело. Есть у моряков такой обычай: всех, впервые пересекающих экватор, окунать в море. А наш Фрегат как раз подошёл к экватору. Значит, я теперь настоящий морской волк!
По этому случаю мы с коком выпили по стаканчику «коктейля для утопающих» и побежали переодеваться.
КТО БЫСТРЕЕ?
28 нуляля
Наши координаты 80° западной долготы и 10° северной широты. Фрегат вошёл в длинный, широкий шлюз канала. Мы стояли на корме и смотрели, как закрываются ворота шлюза. Сперва расстояние
между створками было не менее
— Ты думаешь? — сказал капитан.—А вот 25 веков назад в древ ней Греции мудрец, по имени Зенон, пытался доказать, что можно сделать такую щель, которая никогда не исчезнет несмотря на то что будет всё время уменьшаться. Зенон придумал такую задачу. «Однажды быстроногий Ахиллес решил состязаться в беге с черепахой. По условию он должен был бежать ровно в 10 раз быстрее её, но при этом дать ей
— Не понимаю, — сказал я.
— Чего не понимаешь? — спросил капитан.
— Не понимаю двух вещей. Во-первых, где здесь щель?
— Ну это просто! Щель в этом случае — расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое всё время уменьшается, но никогда не исчезнет.
— А это как раз то, — подхватил я,— чего я не понимаю во-вторых.
— И очень хорошо, что не понимаешь, — сказал капитан. — Потому что Зенон допустил в своих рассуждениях логическую ошибку, которая Привела его к неверному выводу.
Если отрезок в
Я сказал, что
— Так то черепахи настоящие,—возразил капитан,—а это —условная. Черепаха, которую выдумал мудрец Зенон.
— Хорош мудрец, нечего сказать! Надо же так ошибиться…
Капитан задумчиво погладил бороду.
— Не торопись с выводами, юнга. Зенон, конечно, ошибся. Но он был первым учёным, который представил себе бесконечно малую вели чину— то есть такую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда её не достигнет. Вот и выходит, что Зенон как бы пред видел появление в науке того самого понятия, которое много веков спустя, в XVII столетии, почти одновременно открыли два великих человека: англичанин Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц. А ведь это открытие означало целый переворот в математике! С помощью бесконечно малых величин учёным удалось решить многие до тех пор нерешённые задачи. А главное, с этих пор применение математики в практической жизни значительно расширилось. Кстати, изучение бесконечно малых величин доныне остаётся одним из главных вопросов, которыми занимается современная наука.
— Выходит, ошибки тоже иногда бывают полезными! —— сказал я.
— Ещё как! — подтвердил капитан.
ТВЁРДАЯ ПОЧВА
29 нуляля
Идём в сплошном тумане. Ни островка, ни бухты, ни гавани… Я совсем загрустил и сказал, что соскучился по твёрдой почве.
— Вот как! — прищурился капитан. — Но разве наш Фрегат не стоит на твёрдой почве?
Ну и шутник! Мы с коком расхохотались. Но оказалось, что капитан вовсе не шутит.
— Разве математика не та твёрдая почва, на которой развиваются самые разнообразные науки? — спросил он. — Начать с того, что математика возникла как подспорье для астрономии. А астрономия — самая древняя и самая необходимая людям наука.
— Почему самая необходимая? — возмутился я.— Ведь астрономия изучает небесные тела, а люди-то живут на Земле.
— Но Земля —тоже небесное тело, — отвечал капитан, — стало быть, между, ней и другими небесными телами существует взаимосвязь. Это-то и понял в глубокой древности человек, когда научился сопоставлять разные явления. Он увидел; что многое, происходящее на Земле в окружающей его природе, связано с тем, что происходит на небе,— с движением Солнца, например. Человек заметил, что Солнце появляется всегда с одной стороны неба, а уходит в другую. В зависимости от это го на Земле становится то светло, то темно. По Солнцу человек научился отмерять сутки, отделять день от ночи. Точно так же по движению Солнца среди звёзд человек разделил свою жизнь на годы и месяцы. Звёзды помогали ему определять, когда следует ожидать разлива рек» когда начинать сев. Они не давали ему заблудиться в открытом море. Вот почему я сказал, что астрономия в далёкие времена была самой жизненно необходимой наукой. Но астрономия никогда не могла бы существовать без математики. Так же, впрочем, как и другие науки. Постепенно математика проникала в самые разнообразные отрасли человеческой деятельности и знаний. Без неё невозможно было бы ни землемерие, ни судостроение, ни торговля. А в наше время без математики не обходится решительно ни одна наука. Физика, химия, медицина, агрономия, философия, политическая экономия…
