Чей кошелек толще?
|
Профессор Смит. Хотите сыграть в новую игру? Каждый из вас выкладывает кошелек на стол. Выигрывает тот, в чьем кошельке денег окажется меньше, и получает все деньги из другого кошелька. |
|
|
|
|
|
|
Этот забавный парадокс заимствован из книги французского математика Мориса Крайчика "Математические развлечения". У Крайчика речь идет не о кошельках, а о галстуках:
Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному свой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: "Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне". Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них?
Игра, о которой поведал читателям Крайчик, честная, если мы с помощью некоторых дополнительных предположений четко и однозначно сформулируем правила игры. Так, если мы располагаем сведениями о том, что один из игроков имеет при себе меньшую сумму денег, чем другой, или имеет обыкновение носить дрянные галстуки, то игру нельзя будет считать честной. Но если мы не располагаем подобной информацией, то вполне допустимо предположить, что каждый из игроков имеет при себе некую случайную сумму денег - от нуля до некоторого максимального предела, например до 100 долларов Если, исходя из этого предположения, мы построим, как это сделано в книге Крайчика, матрицу платежей, то увидим, что игра "симметрична" и ни один из игроков не имеет преимущества.
К сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика. Книга Крайчика ничем не может нам помочь, а других работ, посвященных этой игре, насколько известно, не существует.
Принцип безразличия
|
|
|
|
"Принцип недостаточного основания", который экономист Джон Мейнард Кейнс в своем "Трактате по теории вероятностей" переименовал в "принцип безразличия", можно сформулировать следующим образом: если у нас нет веских причин считать нечто истинным или ложным, то это "нечто" мы с равной вероятностью можем считать как истинным, так я ложным.
Принцип безразличия имеет долгую и славную историю. Его применяли в столь разных областях человеческого знания, как естествознание, этика, статистика, экономика, философия, психология. При неправильном применении этот принцип приводит к парадоксам и прямым логическим противоречиям. Французский астроном и математик Лаплас однажды, воспользовшись принципом безразличия, вычислил вероятность того, что завтра утром взойдет солнце, и получил 1826214:1!
Посмотрим, какие противоречия возникают, если воспользоваться принципом безразличия при ответах на вопросы о жизни на Титане. Какова вероятность того, что на Титане есть жизнь? Применив принцип безразличия, мы получим, что эта вероятность равна
1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших растений? И на этот вопрос принцип безразличия дает ответ: 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших животных? Ответ снова гласит: 1/2. А какова вероятность того, что на Титане нет ни простейших растений, ни простейших животных? По законам теории вероятностей мы должны умножить 1/2 на 1/2 и получить 1/4. Следовательно, вероятность того, что на Титане есть какая-то жизнь, повысилась до 3/4 вопреки прежней оценке, равной 1/2.
В приведенном выше примере к абсурдным результатам принцип безразличия приводит в сочетании с некоторым дополнительным допущением. Мы молчаливо предполагали, что события, заведомо не являющиеся независимыми, независимы. В свете теории эволюции вероятность существования разума на Титане зависит от существования на нем низших форм жизни.
Приведем еще один поучительный пример неосторожного применения принципа безразличия - парадокс со спрятанным кубом. Предположим, что вам сообщили: "В кладовке спрятан куб с длиной ребра от 2 до
Парадокс с кубом - хорошая модель для демонстрации того, с какими трудностями могут столкнуться физик или статистик, оценивая некую величину по ее максимуму и минимуму и считая, что истинное значение величины, вероятнее всего, лежит посредине между максимумом и минимумом.
Принцип безразличия на вполне законном основании применяется в теории вероятностей, но лишь в тех случаях, когда симметрия ситуации служит объективным основанием для принятия гипотезы о равенстве вероятностей. Например, монета геометрически симметрична: между аверсом и реверсом монеты вы можете провести плоскость симметрии. Монета физически симметрична: ее плотность постоянна по всему объему, иначе говоря, ни лицевая, ни оборотная сторона не имеет перевеса. Силы, действующие на подброшенную монету в воздухе - сила тяжести, давление воздуха и т. д., - симметричны: они не выделяют ни одну из сторон. Следовательно, мы можем с полным основанием считать, что вероятности выпадения "орла" и "решки" равны. Аналогичные соображения симметрии применимы и к шести граням кубической игральной кости, и к 38 ямкам на колесе рулетки. В каждом из этих случаев обширные эксперименты, проводившиеся в игорных домах и казино, показали правильность и пределы применимости соображений симметрии. В тех случаях, когда симметрия заранее не известна и может даже не существовать, применение принципа безразличия нередко приводит к абсурдным результатам.
